2.3 Доверительный интервал и доверительная вероятность

Принимая точечную оценку за истинное значение измеряемой величины x₀, необходимо убедиться в ее точности. В качестве меры точности используемой оценки следует рассматривать симметричный интервал ( -Δ_г, +Δ_г), в котором с за­данной вероятностью Р_д (обычно она выбирается близкой к единице) располагается ошибка оценки . Иными словами, Р(| - x₀|<Δ_г) = Р( -Δ_г <x₀< +Δ_г) = Р_д.

Интервал ( -Δ_г, +Δ_г) шириной 2Δ_г называется доверительным интервалом, а вероятность Р_д называется доверительной вероятностью. В некоторых случаях доверительную вероятность записывают в форме Р_д = 1-q, где q – уровень значимости. Значения х_Н = -Δ_г и х_В = +Δ_г называются нижней и верхней границами доверительного интервала соответственно, а Δ_г – доверительной гра­ницей случайной погрешности результата измерения. Доверительная граница Δ_г зависит от доверительной вероятности Р_д. Поэтому в результатах обработки многократных наблюдений величины X обязательно указывается принятое значение этой вероятности. Например, результат обработки измерения напряжения с многократными наблюдениями может быть записан как U = 220±1 В, Р_д = 0,95.

В метрологии оценка случайных погрешностей измерений с помощью до­верительного интервала называется интервальной. Доверитель­ный интервал определяется главным образом с использованием квантильных оценок случайных погрешностей. При таких оценках исходят из того, что площадь, заключенная под всей кривой плотности распределения погрешностей, отражает вероятность всех возможных значений погрешности и по условиям нормирования равна еди­нице. Эту площадь можно разделить вертикальными линиями на части. Абс­циссы таких линий называются квантилями.

При обработке результатов не­большого числа (2<N<20) многократных наблюдений физической величины используется закон распределения Стьюдента. При этом предполагается, что случайные погрешности распределены по нормальному закону. Закон распределения Стьюдента при числе наблюдений N>20 практически совпадает с нормальным нормиро­ванным законом, а при N< 20 отличается от него тем значительнее, чем меньше k. Для вычисления доверительных границ случайной погрешности используется коэффициент Стьюдента, значения которого определяются из справочных таблиц при заданных доверительной вероятности Рд и количестве измерений k. Таблицы значений коэффициента Стьюдента tp приведены во многих источниках, в частности в работе [3].

2.4 Нормирование метрологических характеристик средств измерений

Для обеспечения единства измерений и взаимозаменяемости средств из­мерений их метрологические характеристики нормируются и регламентиру­ются. Для этого используют нормированные значения погрешности. Под нормированным значением понимается погрешность, являющаяся предель­ной для данного типа средств измерения.

Среди метрологических характеристик можно выделить несколько основных:

– градуировочные характеристики, определяющие зависимость выходного сигнала от входного; номинальное значение меры; пределы измерения; цена деления шкалы для аналоговых приборов; вид и параметры цифрового кода цифровых приборов;

– динамические характеристики, отражающие инерционные свойства средств измерений и необходимые для оценивания динамических погрешно­стей измерений;

– инструментальные составляющие погрешности измерения;

– функции влияния, отражающие зависимость метрологических характе­ристик средств измерений от воздействия влияющих величин или неинфор­мативных параметров (напряжение, частота сети, магнитное поле и т. д.).

Метрологические характеристики нормируются для нормальных условий применения средств измерений. Нормальными считаются такие условия, при которых изменением метрологических характеристик под воздействием влияющих величин можно пренебречь. Нормальные условия измерений устанавливаются в нормативных документах на средства измерений конкретного типа.

Одной из важней­ших метрологических характеристик является погрешность средств измере­ния – инструментальная погрешность (точность) измерения ими физиче­ской величины.

Основная и дополнительная погрешности для средств измерений электрических величин нормируются отдельно. Пределы допускаемых до­полнительных погрешностей, как правило, устанавливают в виде дольного значения предела допускаемой основной погрешности. Для оценки дополни­тельных погрешностей измерений в документации на средство измерения обычно указывают нормы изменения показаний при выходе условий измере­ния за пределы нормальных.

Информация о возможной инструментальной погрешности содержится в указании класса точности средства измерения.

В Рекомендациях по межгосударственной стандартизации РМГ 29-99 дается следующее определение класса точности: «Класс точности средства измерения – обобщенная характеристика данного типа средств измерений, как правило, отражающая уровень их точности, выражаемая пределами допускаемых основной и дополнительной погрешностей, а также другими характеристиками, влияющими на точность». Кроме того, имеется и такое примечание: «Класс точности дает возможность судить о том, в каких пределах находится погрешность средств измерений одного типа, но не является непосред­ственным показателем точности измерений, выполненных с помощью каждого из этих средств». Последнее связано с тем, что погрешность измерения определяется не только погрешностью средства измерения, но и методом измерений, условиями измерений и т. д. Класс точности лишь позволяет судить о том, в каких пределах находится погрешность средства измерения данного типа.

Классы точности присваивают средствам измерений при их разработке на основании исследований и испытаний представительной партии устройств данного типа. Класс точности средств измерений конкретного типа устанавливают в стандартах технических требований (условий) или в других нормативных документах.

Пределы допускаемых погрешно­стей нормируют и выражают в форме абсолютной (Δ), относительной (δ) или приведенной (γ) погрешностей. Форма выражения зависит от характера изменения по­грешностей в пределах диапазона измерений, а также от условий применения и конкретного назначения средства измерения.

Пределы допускаемых погрешностей определяются аналогично погреш­ностям измерений соответственно по формулам (2.1), (2.2) и (2.3). Однако в них вместо результата измерения x должно использоваться показание средст­ва измерения (измерительного прибора).

В общем случае абсолютная погрешность средств измерений Δ со­стоит из аддитивной (суммируемой с измеряемой величиной) и мультипли­кативной (умножаемой на измеряемую величину) составляющих. Причиной возникновения аддитивной составляющей погрешности могут быть: неточ­ность установки на нуль перед измерением, наличие термоЭДС в цепях по­стоянного тока и т.д. Причинами возникновения мультипликативной погрешности могут быть изменения коэффициента усиления усилителя, коэффициента передачи изме­рительного преобразователя и т.д.

Максимальная основная погрешность измерительного прибора (средства из­мерения), при которой он разрешен к применению, называется пределом допус­каемой основной погрешности.

Пределы допускаемой абсолютной основной погрешности устанавливают по одной из формул

, (2.4)

или

, (2.5)

где х – значение измеряемой величины; а, b – положительные числа, не зависящие от х. Первая формула описывает аддитивную погрешность (рис. 2.3а средств измерений. Нормирование в соответствии с выражением (2.5) озна­чает, что в составе погрешности средства измерения присутствует сумма аддитивной и мультипликативной составляющих. Мультипликативная погрешность показа­на на рис. 2.3б, а сумма аддитивной и мультипликативной составляющих представлена на рис. 2.3в.

а) б) в)

Рис. 2.3

Отметим, что рассмотренные выше выражения и графики погрешностей средства измерения получены для Δ > 0. Однако в практике измерений вполне возможно получение значения Δ < 0. Поэтому в общем случае выражения для абсолютной и относительной пог­решностей средства измерения аналитически записываются со знаком « ± ».

В формулах (2.4) и (2.5) значения Δ и х выражаются одновременно ли­бо в единицах измеряемой или воспроизводимой мерой величины, либо в делениях шкалы средства измерения. В этих случаях класс точности обозна­чается заглавными буквами латинского алфавита (например, L, М, С и т. д.), или римскими цифрами (I, II, III и т. д.). К буквам при этом допускается присоединять индексы в виде арабской цифры. Например, класс точности генератора импульсов точной амплитуды Г5-75 обозначается цифрой I [9], а генератор низкочастотный Г3-56/1 относится к классу точности F₁U₄ [10]. Чем меньше пределы допускаемой погрешности, тем ближе к началу алфавита должна быть буква и тем меньше цифра.

Пределы допускаемой приведенной основной погрешности устанавливают по формуле

,

где р – отвлеченное положительное число, выби­раемое из ряда предпочтительных чисел:

1·10ⁿ; 1,5·10ⁿ; 2·10ⁿ; 2,5·10ⁿ; 4·10ⁿ; 5·10ⁿ; 6·10ⁿ, (2.6)

где n = 1, 0, -1,-2 и т.д.

Нормирующее значение x_N выражается в тех же единицах, что и абсолютная погрешность Δ. Для средств измерений с равномерной, практически равномерной или степенной шкалой значение X_N принимают равным:

- большему из пределов измерений или равным большему из модулей пределов измерений, если нулевое значение (нулевая метка) находится на краю или вне диапазона измерений;

- сумме модулей пределов измерений, если нулевое значение находится внутри диапазона измерения.

Пределы допускаемой относительной основной погрешности устанавливают следующим образом:

,

если Δ = ± а. В данном случае q – отвлеченное положительное число, выбираемое из ряда предпочтительных чисел (2.6).

При проведении измерений важное значение имеет диапазон измерений измерительного прибора. Так как при Δ > 0

,

то с увеличением x относительная погрешность средства измерения будет уменьшаться (при больших x значением дроби a/x можно пренебречь, т. е. δ≈b). График относительной суммарной погрешности δ показан на рис. 2.4.

Рис. 2.4

Поэтому следует выбирать такой диапазон измерений, в котором значение х близко к Х_к – большему (по мо­дулю) из пределов измерений.

Когда допускаемая абсолютная основная погрешность задана формулой (2.5), пределы допускаемой относительной основной погрешности устанавливают согласно выражению

, (2.7)

где с – суммарная относительная погрешность прибора; d – аддитивная относительная погрешность прибора; Х_к – конечное значение диапазона измерений; с, d – отвлеченные положительные числа, выбираемые из ряда предпочтительных чисел (2.6). Числа а ,b, c, d в (2.5) и (2.7) связаны между собой следующим образом:

c = b + d; d = a/|X_K|,

причем c>d.

Классы точности приборов, пределы допускаемой отно­сительной основной погрешности которых принято выражать в виде дольно­го значения предела допускаемой основной погрешности, т.е. по формуле (2.7), обозначают числами с и d (в процентах), разделяя их косой чертой (например, класс точности цифрового вольтметра Ф292 для предела измерения 10 В обозначается как 0,2/0,1 [11]).

Предел допускаемой абсолютной дополнительной погрешности средства измерения Δ_дси может указываться в виде:

– постоянного значения для всей рабочей области влияющей величины или постоянных значений по интервалам рабочей области влияющей вели­чины;

– отношения предела допускаемой дополнительной погрешности, соответствующего регламентированному интервалу влияющей величины, к этому интервалу;

– зависимости предела Δ_дси от влияющей величины.

В некоторых случаях дополнительная погрешность прибора указывается в виде дольного значения основной относительной погрешности. Так, например, для цифрового вольтметра Ф292 допускаемая дополнительная погрешность, вызванная воздействием внешнего однородного магнитного поля с индукцией 0,5 мТ не превышает половины предела основной (относительной) погрешно- сти [11].

Пример 2.2. Отсчетное устройство вольтметра среднего квадратического значе­ния с классом точности 0,5 (приведенная погрешность) имеет пределы 0 и 200 В. Указатель показывает напряже­ние 110 В. Необходимо определить, чему равно измеряемое напряжение.

Решение. Для данного прибора предел допускаемой приведенной основной погрешности определяется как γ = (Δ/X_к)·100 %. При этом γ не превышает 0,5. Отсюда находим значение Δ ≤ ± 1В. Следовательно, измеряемое напряжение: U = (110 ± 1) В.

Пример 2.3. Класс точности используемого при измерениях вольтметра указан как c/d = 0,06/0,04. Показываемое значение напряжения x=25В Предел измерения X_к = 100В. Определить абсолютную погрешность измерения.

Решение. Прежде всего, требуется вычислить относительную погрешность резуль­тата измерения:

.

Вычислив значение δ, мы можем перейти к абсолютной погрешности измерения, выразив ее из формулы

.

Находим абсолютную погрешность результата измерения (в данном случае предполагается, что погрешность измерения полностью определяется инструментальной погрешностью):

Δ = ±δ·x/100 = ±0,18·25/100≈±0,05 В.