9.1.5. Рiвняння Шредiнгера для атома водню

Потенцiальна енергiя системи електрон-ядро в атомі водню має вигляд кулонівської потенціальної енергії

З врахуванням цього виразу запишемо рiвняння Шредiнгера для найпростiшої атомної системи – атома водню:

(9.14)

Фiзичний змiст ²накладає на -функцiю вимоги скiнченностi, однозначностi та неперервностi. Рiвняння Шредiнгера для атома водню має розв’язок, що задовольняє вище перерахованим вимогам: при Е > 0 -функцiя описує стан електрона, що є вільним і вже не належить даному атому, а при Е < 0 -функція описує стан електрона всерединi атома. В останньому випадку повна енергiя системи дорiвнює:

Хвильова функцiя, що є розв’язком рiвняння Шредiнгера, містить в собі три цiлочисельнi параметри, якi називаються квантовими числами.

Головне квантове число n, що характеризує енергiю електрона i розмiри його орбiталi (розмiри електронної хмари), може приймати значення:

де К, L, M, N – позначення вiдповiдних енергетичних рiвнiв.

Орбiтальне квантове число l, характеризує величину моменту кiлькостi руху, тобто характеризує форму орбiталi:

де l може набувати значення

Вiдповiднi форми орбiталей наведенi на мал. 9.4.

Мал. 9.4. Різні форми електронних орбіталей.

При наявностi зовнiшнього магнiтного поля можливi лише певнi орiєнтацiї вектора момента кiлькостi руху L (мал. 9.5) до напрямку зовнiшнього поля, а саме лише тi, для яких проекцiя L на напрям поля дорiвнює:

де m_l = .

Мал. 9.5. Можливі орієнтації вектора моменту кількості руху відносно напрямку зовнішнього поля.
агнiтне квантове число m_l визначає просторову орiєнтацiю орбiталей. Виявляється, що перерахованi вище квантовi числа n, l, m_l не повнiстю характеризують стан електрона. Iснує ще одне квантове число, необхiднiсть введення якого не витiкає з рiвняння Шредiнгера. Згiдно з уявленнями квантової механiки, електрон має власний момент кiлькостi руху – спiн, величина якого дорівнює :

де S – спiнове квантове число, для електрона S = 1/2.

При наявностi зовнiшнього магнітного поля В проекцiя L_s_Z на його напрямок може набувати значення:

де m_S = +1/2, –1/2. Таким чином, магнiтне спiнове число m_S визначає проекцiю L_SZ на напрямок магнітного поля.

9.1.6. Багатоелектроннi атоми

Одержати точний розв’язок рiвняння Шредiнгера для багатоелектронної системи неможливо. Складнiсть задачi полягає в тому, що електрон рухається не тільки в силовому полi ядра, але й в полi iнших електронiв. I все ж розподiл електронiв по орбiталях багатоелектронного атома може бути достатньо добре описаний в припущеннi, що цi орбiталi подiбнi до орбiталей атома водню. При цьому розподiл електронiв атому по орбiталях пiдпорядкований фундаментальному принципу Паулі. Цей принцип полягає в тому, що в атомi не може бути двох чи бiльше електронiв з чотирма однаковими квантовими числами n, l, m_lі m_S. Згiдно з ще одним важливим принципом – принципом найменшої енергiї – електрон, що пiд’єднується до атома, посiдає в ньому вiльний рiвень з найменшою енергiєю. Обидвi вказанi фундаментальнi умови складають принцип будови електронних конфiгурацiй атомiв і молекул, тобто розподiл електронiв по їх орбiталях.

Слiд пiдкреслити, що на вiдмiну вiд атома з одним електроном (атома водню) енергiя електрона в багатоелектронному атомi залежить вiд двох квантових чисел – n та l. Тому при даному значеннi n енергiя електронiв змiнюється при змiнi квантового числа l. Сукупнiсть електронiв з даним значенням n в багатоелектронному атомi називають шаром i позначається певним символом, вiдповідно до значення n:

Всерединi шару електрони розподiляються на пiдрiвнi, вiдповiдно до значення квантового числа l.

Щоб побудувати електронну конфiгурацiю багатоелектронного атома необхiдно визначити, яка кiлькiсть електронiв може знаходитись в одному шарi, на пiдрiвнi, на атомнiй орбiталi.

В одному шарi (n):

l = .