9.1.3. Спiввiдношення невизначеностей Гейзенберга

Хвильовi властивостi мiкрочастинок свiдчать про обмеженiсть застосування до них деяких понять, якими характеризуються тiла в класичнiй механiцi. Так, в класичнiй механiцi ми можемо одночасно вказати положен­ня тiла в просторi та його iмпульс, що дозволяє вказати просторове положення тiла у наступний момент часу, визначаючи тим самим траєкторiю його руху. Для мiкро­частинки це стає неможливим. Завжди iснують невизна­ченостi у значеннях її координати та iмпульсу, пов’язанi певним спiввiдношенням, яке було встановлено в 1927 р. німецьким фізиком В. Гейзенбергом:

x  p  , (9.6)

З цього співвідношення випливає, що чим точнiше ми спробуємо визначити координату частинки, тим з меншою точнiстю зможемо охарактеризувати її iмпульс:

.

Приклад: згiдно з класичним уявленням, електрон в ато­мi рухається по коловiй орбiтi зi швидкiстю  = 10⁶ м/с (швид­кiсть електрона в атомi легко визначити за умови F_кул = F_доц, тобто (1/4₀) Ze² /R² = m²/R .

Належнiсть електрона до атома потребує, щоб невизна­ченiсть у значеннi його координати вiдповiдала атомним розмiрам, тобто х  10^–10 м, тодi iз спiввiдношення m  /x маємо:

  /mx = 1.05  10^–34/9.1  10^–31  10^–10  10⁶ м/с.

Звідси випливає, що невизначенiсть у значеннi швид­костi електрона дорiвнює самiй швидкостi. Таким чином, неможливо зберегти уявлення про орбiту, вздовж якої рухається електрон з визначеною швидкiстю, тобто класич­нi уявлення у даному випадку ми невзмозi застосувати.

Аналогiчно пов’язанi мiж собою невизначеності енергiї частинки i часу її життя в даному енергетичному станi:

Е  t  , (9.7)

а також невизначеності моменту імпульса та кутової коорди­нати.

Наведені спiввiдношення (9.6) і (9.7) називаються спiв­вiдно­шеннями невизначеностей Гейзенберга. Вони ста­нов­лять одне з основних положень квантової механiки. Вiдмова вiд детермінованого поняття траєкторiї руху, при­та­манного класичній механіці Ньютона-Галілея, i перехiд до ймовiрносного опису положення мiкрочастинок у просторi є однiєю з iстотних і принципових особливостей квантової механіки – науки про мікросвіт.

9.1.4. Основне рiвняння квантової механiки – рiвняння Шредiнгера

Рiвняння, що описує рух мiкрочастинки, повинне вiдтворювати її хвильовi властивостi, тобто повинне бути подiбним до хвильового рiвняння, що описує розповсюд­ження оптичних або акустичних хвиль (див. рівняння (3.58) в першому томі):

. (9.8)

Ми можемо мiркувати таким чином: якщо мiкро­частинка, яка рухається, має хвильовi властивостi i може бути охарактеризована довжиною хвилi, то її стан можна описати за допомогою деякої функцiї , яка повинна задовольняти хвильове рiвняння (9.8), тобто:

. (9.9)

Функцiя, що задовольняє хвильове рiвняння, може бути подана у такому виглядi:

 = (х) sin t.

Знайдемо відповідні частиннi похiднi, а саме:

i пiдставимо їх в рiвняння (9.9), що в результатi дає

.

Враховуючи зв’язок мiж частотою і періодом , а також зв’язок мiж довжиною хвилі, швидкістю і періодом T i формулу (9.4) для довжини хвилі де Бройля, вiдношення ²/² можна подати таким чином:

Тодi рiвняння (9.9) набуває такий вигляд:

(9.10)

де Е_k – кiнетична енергiя частинки. Рiвняння (9.10) описує одновимiрний рух частинки. У випадку, коли частинка рухається в тривимірному просторi, рiвняння (9.10) матиме вигляд:

, (9.11)

або

(9.12)

де – так званий оператор Лапласа, який діє на хвильову функцію і дорівнює сумі всіх других просторових похідних від . Рiвняння (9.12) описує рух вiльної частинки.

Якщо частинка рухається в силовому полi, то її повна енергiя дорiвнює сумi кiнетичної та потенцiальної енергiй: Е = E_k + E_n , звiдки Е_k = Е – Е_n. У цьому випадку рiвняння (9.12) записується таким чином:

(9.13)

Рiвняння (9.13) – стацiонарне рiвняння Шредiнгера, запропоноване ним у 1926 році. Це рiвняння описує пове­дiн­ку електрона в атомi (тобто електрона, що рухається в полi ядра). Хвильова функцiя (x, y, z), яка є розв’язком рiвняння Шредiнгера, не залежить вiд часу і характеризує стацiонарнi стани системи.

Спiввiдношення мiж -функцiєю та частинкою, яку вона описує, аналогiчне спiввiдношенню мiж свiтловою хви­лею та фотоном. Квадрат амплiтуди свiтлової хвилi А² виз­начає ймовiрнiсть попадання фотона у вiдповiдну точку простору. Як показав М. Борн, квадрат амплiтуди хвильової функцiї ² характеризує ймовiрнiсть знаходження частин­ки в данiй точцi простору, а ²dv – ймовiрнiсть знаход­ження частинки в елементi об’єму dv. Таким чином, фiзич­ний змiст має не сама хвильова функцiя, а її квадрат. Слiд відзначити, що, на вiдмiну вiд оптичних хвиль, -функцiя характеризує не електромагнiтну хвилю, а хвилю ймовiр­ностi.