3. Спiввiдношення невизначеностей Гейзенберга.

Задача 3.

Пучок електронiв рухається вздовж електронно-променевої трубки зi швидкiстю = 10⁸ cм/с. Швидкiсть визначена з точнiстю до 0.01%. Чи має сенс поняття траєкторiї руху електронiв у трубцi?

Еталон розв’язку.

Спiввiдношення невизначеностей Гейзенберга дозволяє встановити точнiсть у визначеннi координати електрона

.

За умовою задачi  _х = 10^–4 = 10² м/с. Звідси маємо

.

Вiдповiдь: Одержане значення х = 10^-4см = 1 мкм свiд­чить про те, що координата електрона може бути визначена з достатньо високою мiрою точностi. Таким чином, поняття траєкторiї руху електронiв в трубці має сенс.

Задача 4.

Тривалiсть збудженого стану атома водню вiдпов­iдає значенню t = 10^–3 с. Чому дорiвнює за цих умов невизначенiсть енергії збудженого енергетичного рiвня?

Еталон розв’язку.

Тривалiсть життя атома у збудженому станi t i невизначенiсть значення енергiї даного стану пов’язанi спiввiдношенням Гейзенберга:

Е  t  ,

звідки

.

Вiдповiдь: Е = 1.05  10^–26 Дж.

4. Квантовi числа, їх фiзичний змiст

Задача 5.

Знайти значення енергiї та орбiтального моменту iмпульса електрона в атомi водню, що вiдповiдають станам: 1S, 2S, 3S.

Еталон розв’язку.

Енергiя електрона в атомi водню у вiдповідностi до розв’язку рiвняння Шредiнгера може приймати значення

де n – головне квантове число, R = 3.310¹⁵ с^–1 – стала Рiд­бер­га.

Стан	n	E
1s	1	–Rh
2s	2	–Rh/4
2p	2	–Rh/4

Вiдповiдно до уявлень квантової механiки орбiтальний момент iмпульса електрона визначається значенням орбiтального квантового числа l за формулою

.

Стан	l	Lорб
1s	0	0
2s	0	0
2p	1

Вiдповiдь: Для стану 1S: E = –Rh = –3.310¹⁵6.6310^–34 = = –21.910^–19 Дж, L_орб = 0;

Для стану 2S: E = –Rh/4 = –5.4810^–19Дж, L_орб = 0;

Для стану 2p: E = –Rh/4 = –5.4810^–19 Дж, L_орб = = = 1.0510^–341.4 = 1.4710^–34 Дж с.

5. Атомнi спектри

Задача № 6.

Знайти границi серiї Бальмера (в частотах та дов­жи­нах хвиль). Спiвставити цi данi з iнтервалом частот та довжин хвиль свiтла у видимому дiапазонi.

Еталон розв’язку.

Серiя Бальмера вiдповiдає переходам електрона на енер­ге­тич­ний рiвень з головним квантовим числом n = 2 з усiх вище розташованих рiвнiв. Частоти цiєї серiї можуть бути розрахованi за формулою:

v = R (1/2² – 1/n_k²),

де n_k = 3, 4, 5, …, а R = 3.310¹⁵ с^–1 – стала Рiдберга. Границi серiї Бальмера визначаються такими значен­нями:

при n_k = 3 найменша частота дорівнює

v_гр1 = R (1/2² – 1/3²) = 0.4610¹⁵ с^--1;

при n_k =  гранична лінія має частоту

v_гр2 = R (1/2² – 1/²) = 0.8210¹⁵ с^–1.

Відповідні довжини хвиль дорівнюють

_гр1 = с/v_гр1 = 310⁸ / 0.4610¹⁵ = 6.5210^–7 м = 652 нм,

_гр2 = с/v_гр2 = 310⁸ / 0.8210¹⁵ = 3.6610^–7 м = 366 нм.

Вiдповiдь: для серії Бальмера

0.4610¹⁵ с^–1 < _Б < 0.8210¹⁵ с^–1 та 366 нм < _Б < 652 нм, тоді як для видимого дiапазону 400 нм <  < 760 нм.

Задача № 7.

Вважаючи, що в збудженому станi атом водню пере­бу­ває протягом часу t = 10^–8 с, визначити пiвширину лiнiї  в серiї Бальмера, що вiдповiдає переходу з третього рiвня на другий.

Еталон розв’язку.

Використовуючи спiввiдношення невизначеностей Гей­зен­берга, визначимо “розмитiсть” Е енергетичного рів­ня, що вiдповiдає збудженому стану:

При переходi атома зі збудженого рівня, що має енер­гію Е  Е, на нижчий рiвень з енергією Е₀ випромiнюється фотон з енергією

hv = (E  E) – E₀ = (E – E₀)  E .

Таким чином, частота фотона, що випромiнюється, має невизначенiсть, яка дорівнює

v = E/h,

тобто лiнiї спектра мають скiнчену ширину v  v в частот­ному діапазоні або    в діапазоні довжин хвиль.

Довжина хвилi пов’язана з частотою спiввiдношення  = с/. Диференціюючи цю рiвнiсть i враховуючи резуль­тат попередньої задачі щодо частоти переходу з третього рiвня на другий в серії Бальмера, одержимо шукану вели­чину :

  d = (c/v²)v = (c/v²)E/ = (c/v²) /2 t = c/2v²t = = 310⁸/23.14(0.4610¹⁵)²10^–8 = 2.3810^–5 нм.

Вiдповiдь:  = 2.3810^–5 нм.