9.1.1. Мiсце квантової механiки в системi наук про рух тiл

Взагалi iснує чотири механiки:

1. Класична механiка Ньютона-Галiлея (XVI, XVII ст.) справедлива для випадкiв, коли швидкiсть тiла  значно менша за швидкiсть розповсюдження свiтла c ( << c), а маса тiла значно бiльша за масу електрона m_ел (m_т >> m_ел);

2. Механiка теорiї вiдносностi (10–20 рр. ХХ ст.), описує рух тiла з швидкiстю   c та масою m_Т >> m_ел;

3. Квантова механiка без врахування ефектiв теорiї вiдносностi, описує рух тiл з масою m_Т  m_ел та швидкiстю  << c (нерелятивiстська квантова механiка);

4. Релятивiстська квантова механiка, справедлива для випадкiв, коли m_Т  m_ел та   c.

На початку ХХ ст. стало очевидним, що класична фiзика невзмозi описати властивостi систем, що складають­ся з мiкрочастинок. Так, планетарна модель Резерфорда виявилась неспроможною пояснити лiнiйчастий характер атомних спектрiв та сам факт стiйкостi атомiв. З точки зору класичної електродинамiки виняткова стiйкiсть атомiв cуперечить ядернiй моделi їх будови. Вихiд був запропоно­ваний Бором: суперечності усувались шляхом введення припущень, якi не задовольняли як закони класичної меха­нi­ки, так i закони класичної електродинамiки. Мова йде про добре вiдомi постулати Бора, суть яких полягає в наступних положеннях:

1. Iз нескiнченної множини електронних орбіт здiйсню­ють­ся лише дискретнi “стацiонарнi” орбiти, для яких момент кiлькостi руху кратний до = h/2, де h = 6.6310^–34 Дж с – стала Планка, тобто

m r = n .

Рух електронiв по стацiонарних орбiтах не супровод­жу­єть­ся випромiнюванням.

2. Випромiнювання або поглинання атомами електро­маг­нiтних хвиль вiдбувається при переходi електронiв з однiєї стацiонарної орбiти на iншу. Частота хвиль, що випромiнюється атомами при таких переходах визначається рiзницею енергiй стацiонарних станiв до i пiсля випромiню­вання згiдно з рiвнянням:

,

де n_k та n_i – номера стацiонарних орбiт, мiж якими вiдбуваються переходи електронiв.

Таким чином, зберiгаючи планетарну модель Резерфор­да, Н. Бор внiс до неї iдеї квантової теорiї Планка. Так була створена нова теорiя – теорiя Бора, яка стала наступним кроком в розвитку теорiї будови атома. Теорiя Бора не лише дала наочну картину руху електрона в атомi водню, а й дозволила розрахувати можливi значення його енергiї:

, (9.1)

де – стала Рідберга, а n = 1, 2, 3,  – номер орбіти.

Згiдно з теорiєю Бора, частоти, якi випромiнюють атоми водню, можуть бути визначенi за формулою:

, де n_k > n_i . (9.2)

Ця формула є узагальненням формули Бальмера, одер­жа­ної ним експериментально:

v = R (1/2² – 1/n_k²), де n_k = 3, 4, 5, … .

Однак, успiх теорiї Бора не можна було розповсюдити на бiльш складнi атоми. Слабкою стороною цієї теорiї, що обумовила її подальшi невдачі, була її внутрiшня логiчна суперечнiсть – вона не була нi послiдовною класичною, нi послiдовною квантовою теорiєю. Потрiбна була нова кван­то­ва теорiя, яка описувала б поведiнку i властивостi мікро­час­тинок. Основою для створення такої теорiї стали роботи де Бройля, Гейзенберга i Шредiнгера.

9.1.2. Гiпотеза де Бройля

Першим кроком на шляху створення нової квантової теорiї була висловлена в 1924 р. Л. де Бройлем гiпотеза про те, що корпускулярно-хвильовий дуалiзм є особливiстю не тiльки оптичних явищ, але він притаманний всiм матерiаль­ним частинкам або предметам, якi рухаються. Дуалiзм оптич­них явищ означає, що:

свiтло		це електромагнiтнi хвилі;
		це потiк фотонiв, якi характеризуються енергiєю ЕФ, масою mФ та iмпульсом pФ.

Значення цих характеристик фотонів визначаються частотою  (довжиною хвилі ), а саме:

Е_Ф = hv, m_Ф = hv/c², p_Ф = m_Ф с = hv/c = h/,

звідки

 = h/p_Ф = h/m_Фс . (9.3)

Згiдно з гiпотезою де Бройля, не лише фотон, але й будь-яка матерiальна частинка або тiло, що рухаються, мають як корпускулярні, так і хвильовi властивостi i можуть бути охарактеризованi довжиною хвилі , пов’язаною зi швидкiстю руху  формулою, анало­гiч­ною до (9.3), яка має мiсце для фотонiв, а саме:

 = h/m . (9.4)

Зробимо оцiнку довжини хвилi, якою може бути охарактеризований спринтер масою 100 кг, який бiжить зi швидкiстю 10 м/с:

 = 6.6  10^–34/100  10 = 6.6  10^–37 м.

Таким чином, довжина хвилi, яка характеризує макрооб’єкт, який рухається, настільки мала, що навіть не може спостерiгатися в експериментi.

Розрахуємо довжину хвилі електрона, яка характеризує цю мікрочастинку при її русi. Нехай електрон пройшов прискорюючу рiзницю потенцiалiв  = 10 кВ. В результатi вiн набув кiнетичну енергiю:

m²/2 = e,

звідки

Довжина хвилi де Бройля, яка характеризує даний електрон, дорівнює

 = h/m = 6.6 10^–34 / 9.1  10^–31  5.8  10⁷  0.12  10^–10 м ,

тобто вона має порядок лінійних розмiрів атома. Вiдпо­вiд­но, хвильовi властивостi мiкрочастинок (електронів, прото­нів, нейтронів тощо) при їх русi можуть бути визначенi експериментально.

У

Мал. 9.1. Дифракція електро­нів при відбитті від моно­кристала.

1927 роцi гiпотеза де Бройля одержала блискуче експериментальне пiдтверд­жен­ня. К. Девiсон i Л. Джер­мер спостерiгали дифракцiю електронiв при їх вiдбиттi вiд монокристала Ni (мал. 9.1).

Атоми i промiжки мiж ни­ми вiдiгравали роль дифрак­цiй­ної решiтки. Довжина хви­лi електронiв, що її було вста­нов­ле­но згідно з дифрак­цiй­ною картиною, становила  = = 1.65  10^–10 м, а розрахована за формулою де Бройля

 = h/m = = 1.67  10^–10 м.

Збiг результатiв свiдчив про правильнiсть формули де Бройля. В тому ж 1927 роцi радянський фiзик П.С. Тарта­ковський та англійський фізик Д. Томсон незалежно один вiд одного спостерiгали дифракцiю електронiв при проход­жен­нi ними тонкої алюмiнiєвої фольги (мал. 9.2).

Дифракцiйна картина нiчим не вiдрiзнялась за виглядом вiд дифракцiйної картини, одержаної за допомогою рентге­нiв­ського випромiнювання, і характеризувалася довжиною хвилi, яка в точності дорівнювала довжинi хвилі де Бройля для дифрагуючих електронiв.

Мал. 9.2. Дифракція електронів при проходженні тонкої алюмінієвої фольги.

В наш час дифракцiя електронiв та iнших мікрочасти-нок використовується для дослiдження структури речовини аналогiчно методу рентгеноструктурного аналiзу.

Вiдкриття хвильових властивостей електронiв сприяло створенню надзвичайно важливого для наукових дослiд­жень приладу – електронного мiкроскопа. На мал. 9.3 наведено порiвняльну схему свiтлового (а) та електронного (б) мiкроскопiв. На вiдмiну вiд оптичних мiкроскопiв, формування зображення в електронному мікроскопі здiйсню­ється за допомогою електростатичних або магнiт­них лiнз.

Як вiдомо (див. розділ 7), межа розрiзнення мiкроскопа визначається довжиною хвилi випромiнювання, яке в ньому використо­вується:

Z_min =  / 2n sin . (9.5)

Використання електронних пучкiв дозволяє покращити межу розрiзнення в сотнi разiв. Так, при прискорюючiй рiзницi потенцiалiв  = 100 кВ i кутовiй апертурi  = 10^–2 рад:

Z_min = /2nsin = h/2m nsin = h/(2n sin)  10^–10 м.

Межа розрiзнення кращих вiтчизняних електронних мiкроскопiв складає 310^–10 м .

Мал. 9.3. Порівняльна схема світлового (а) та електронного (б) мікроскопів: 1а – освітлювач, 1б – електронна гармата, 2 – конденсорні лінзи, АВ – зразки, 3 – об’єктиви, 4 – проміжні зображення, 5а – окуляр, 5б – проекційна лінза, 6а – око, 6б – фотоплівка.