15.4. Потеря кинетической энергии при ударе. Теорема Карно

Из-за остаточных деформаций и нагревания тел при ударе проис­ходит частичная потеря начальной кинетической энергии соударяющихся тел. Определим потерю кинетической энергии при упругом ударе тел, имеющих коэффициент восстановления k. Начальная кинетическая энергия тел

.

Кинетическая энергия тел в конце удара

.

Потеря кинетической энергии тел за время удара

. (3.41)

В этом выражении величины (v₁-u₁) и (v₂-u₂) представляют собой скорости, потерянные телами при ударе. Обозначим кинетическую энергию тел, соответствующую их потерян­ным скоростям, Т*. Если числовая величина

, (3.42)

тогда выражение (3.41), определяющее потерю кинетической энергии тел при ударе, примет вид

Таким образом, кинетическая энергия, потерянная телами при упругом ударе, равна произведению коэффициента (1-k)/(1+k) на кинетическую энергию тел Т*, соответствующую их потерянным ско­ростям. При неупругом ударе, когда k=0 и и₁=и₂=и, формула (3.41) принимает вид

. (3.43)

Формула (3.43) выражает теорему Карно: кинетическая энергия, потерянная телами при неупругом ударе, равна кинетической энергии тел, соответствующей их потерянным скоростям.

15.5. Теорема об изменении кинетического момента

механической системы при ударе

Теорема об изменении кинетического момента механической системы при ударе: изменение кинетического момента механической системы относительно любого неподвижного центра при ударе равно геометрической сумме моментов всех внешних ударных импульсов, приложенных к точкам системы, относительно того же центра.

. (3.44)

Здесь - кинетический момент системы относительно центра О в момент окончания действия ударных сил; - кинетический момент системы относительно центра О в момент начала действия ударных сил; - главный момент всех внешних ударных импульсов, приложенных к точкам системы, относи­тельно центра О.

Из уравнения (3.44) при отсутствии внешних ударных импульсов, т.е. при имеем .

Таким образом, если к точкам механической системы приложены только внутренние ударные импульсы, то кинетический момент системы относительно любого центра не изменяется.

Векторному уравнению (3.44) соответствуют три уравнения в проекциях на оси координат:

т. е. изменение кинетического момента механической системы относи­тельно любой оси при ударе равно сумме моментов всех внешних ударных импульсов, приложенных к точкам системы относительно той же оси.

15.6. Действие ударных сил на твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси и совершающее плоское движение

Вращение тела вокруг неподвижной оси. Предположим, что твердое тело вращается вокруг неподвижной оси z. В момент, когда оно имело угловую скорость ω₀, на него подей­ствовали внешние ударные силы. Определим изменение угловой скорости тела под действием этих сил. Для этого воспользуемся уравнением

.

Кинетический момент твердого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела , т. е.

.

Подставим эти значения в уравнение:

,

откуда

.

Таким образом, изменение угловой скорости твердого тела, вращаю­щегося вокруг неподвижной оси, под действием внешних ударных сил равно сумме моментов импульсов этих сил относительно той же оси.

Плоское движение тела. Выясним влияние внешних ударных сил на плоское движение твердого тела. Рассмотрим это движение тела как совокупность двух движений: поступательного движения вместе с центром масс и враще­ния вокруг оси, проходящей через центр масс перпендикулярно той плоскости, в которой он движется. В плоскости движения центра масс проведем оси х и у. Предполо­жим, что в момент начала действия ударных сил скорость центра масс была а угловая скорость – Обозначим скорость центра масс в момент конца действия ударных сил а угловую скорость тела — ω. Изменение проекций скорости центра масс определяют два уравнения:

, (3.45)

где - проекции внешнего ударного импульса на оси х и у.

Так как dL_ζr/dt = dL_r/dt, то изменение угловой скорости тела определяет уравнение:

, (3.46)

где - момент инерции тела относительно подвижной оси ζ, проходя­щей через центр тяжести перпендикулярно плоскости ху; - момент внешнего ударного импульса относительно той же оси.

Таким образом, внешние ударные силы, действующие на твердое тело, совершающее плоское движение, вызывают конечное изменение скорости центра масс тела, определяемое уравнениями (3.45), и конечное изменение угловой скорости тела, определяемое уравнением (3.46).