Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
СпрТМ361.402.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
30.04.2019
Размер:
1.33 Mб
Скачать

13.5. Малые свободные колебания механической системы с одной степенью свободы

Состояние покоя (равновесия) механической системы может быть устойчивым, неустойчивым и безразличным (рис. 3.89). Состояние покоя механической системы называется устойчивым, если система, выведенная из положения покоя, совершает колебания около этого положения.

Неустойчивое - если при сколь угодно малом отклонении системы из положения покоя она удаляется от этого положения и колебаний не возникает.

Устойчивое Неустойчивое Безразличное

Рис. 3.89

Безразличное - если при отклонении ее из положения покоя система и в новом положении может остаться в состоянии покоя.

Условие равновесия механической системы вытекает из принципа возможных перемещений: необходимым и достаточным условием равновесия механической системы с идеальными связями является равенство нулю суммы элементарных работ всех активных сил на любом возможном ее перемещении, т.е.

.

В обобщенных координатах

.

Умножим обе части равенства на

.

Правая часть будет равна нулю только в том случае, если сомножитель обобщенной координаты ноль, то есть для равновесия механической системы необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы, соответствующие обобщенным координатам, были равны нулю.

- условие равновесия.

Для консервативной системы

.

По уравнению равновесия консервативной системы нельзя судить об устойчивости состояния покоя.

Условие устойчивости состояния покоя содержится в теореме Лагранжа - Дирихле: те положения покоя консервативной системы, в которых потенциальная энергия системы достигает минимума, являются ее устойчивыми состояниями.

- условие наличия состояния покоя,

- условие устойчивого состояния покоя.

Для описания колебательного движения механической системы в обобщенных координатах используется уравнение Лагранжа II рода:

, (а)

где (а) - дифференциальное уравнение движения механической системы;

Т - кинетическая энергия, приводимая к виду (а - обобщенный коэффициент инерции); П - потенциальная энергия, приводимая к виду (с – обобщенный коэффициент жесткости); - обобщенная скорость; q - обобщенная координата; Q - обобщенная сила.

Если на механическую систему действуют только консервативные силы, то

.

После приведения кинетической энергии к виду , потенциальной энергии к виду и преобразований, указанных в уравнении Лагранжа II рода, получим

.

Поделив обе части равенства на а и произведя замену — , запишем дифференциальное уравнение свободных колебаний системы с одной степенью свободы без учета сил сопротивления

,

где k - циклическая (круговая) частота колебаний, размерность рад/с или .

Период свободных колебаний системы определяется по формуле

.

Решение дифференциального уравнения свободных колебаний записывается в виде

.

Амплитуда колебаний А и начальная фаза колебаний α определяются по начальным условиям движения.

Задача 3.27. Определить циклическую частоту свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы (рис. 3.90), состоящей из груза 1 массой кг, колеса 2 массой кг, радиус которого R = 2 м, радиуса инерции м, коэффициент жесткости пружины с = 40 Н/см. Трением, массами нити и пружины пренебречь.

Решение. Приведем систему в движение и покажем направления скоростей тел , , . Пусть тело 1 опускается со скоростью , тогда колесо 2, совершая плоское движение, будет иметь угловую скорость , направленную против хода часовой стрелки. В точке контакта колеса и поверхности находится мгновенный центр скоростей.

Обозначим буквой А точку прикрепления пружины к колесу. Скорости точек С и А должны быть пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра скоростей.

Рис. 3.90

Активными силами в задаче будут и . Принцип освобождаемости от связей применим только к внешним связям (поверхность качения и упругая связь - пружина), иначе нельзя описать поведение всех тел системы одним уравнением (рис. 3.91).

Отбрасывая неподвижную поверхность, показываем нормальную реакцию и силу трения, так как по абсолютно гладкой поверхности качение тела 2 невозможно. Силу трения изобразим в сторону, противоположную скорости центра масс . Мысленно отбросив пружину, покажем силу упругости , направив ее противоположно .

Рис. 3.91

Задачу решаем в обобщенных координатах. За q можно принять и угол поворота 2-го тела и вертикальную координату 1-го тела, выбор не изменит конечного результата, изменяется только уравнение связей.

Пусть q =y, покажем ось у на рисунке.

Уравнение Лагранжа I I рода

.

Обобщенная сила

.

Сила трения в нашей задаче работу совершить не может, так как приложена все время движения к точке, скорость которой равна нулю. Это означает, что обобщенная сила определяется только для консервативных (потенциальных) сил, т.е.

.

Дифференциальное уравнение малых колебаний этой системы имеет вид

, ,

где с - обобщенный коэффициент жесткости; а - обобщенный коэффициент инерции.

Значения обобщенных коэффициентов получим, записав кинетическую и потенциальную энергию системы.

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий каждого тела системы и должна быть приведена к виду

.

Тело 1 совершает поступательное движение, поэтому кинетическую энергию запишем в виде

.

Тело 2 совершает плоское движение, кинетическая энергия в этом случае

.

Для системы

.

Составим уравнения связей, выразив все скорости через обобщенную скорость^

; (а)

.

Скорость точки схода гибкой связи с малого барабана такая же как у тела 1, так как связь идеальна. Тогда

или . (б)

Подставим (б) в формулу для

. (в)

Теперь подставим (а), (б) и (в) в выражение кинетической энергии

Коэффициент инерции системы (выражение, заключенное в квадратные скобки) содержит только постоянные и известные значения ( ), т.е. это просто число, если задача решается в числовых параметрах.

Потенциальная энергия П системы численно равна работе потенциальных сил, которую необходимо совершить, чтобы вернуть систему из отклоненного положения в положение равновесия. П приводится к виду

.

Для системы .

.

Здесь , так как точка приложения силы не перемещается по вертикали.

;

,

где - система не может быть так организована, чтобы статическое удлинение пружины отсутствовало.

Для определения конечного удлинения пружины х удобнее записать скорость точки А, выразив ее через обобщенную скорость, а затем эту зависимость проинтегрировать

.

Проинтегрировав при нулевых начальных условиях, получим перемещение точки А:

.

Окончательно конечное удлинение пружины

;

Потенциальная энергия системы

.

Это выражение содержит слагаемые с обобщенной координатой у в первой степени, что не соответствует общему виду П (см. начало пункта 4).

Используя критерий Лагранжа-Дирихле, запишем:

,

т.е. в положении равновесия (у =0) два первых слагаемых в сумме дают 0, поэтому можем сделать вывод, что для осуществления колебаний системы имеет значение только третье слагаемое.

Таким образом, потенциальную энергию системы запишем как

.

В квадратных скобках записан обобщенный коэффициент жесткости системы, это тоже постоянное значение, то есть число.

Циклическая частота колебаний.

.

При решении задачи было проверено наличие положения равновесия. Это можно сделать, не используя критерий Лагранжа-Дирихле, а вспомнив статику: в положении равновесия силы и создают моменты относительно мгновенного центра скоростей с противоположными знаками, но равными модулями

,

т.е. .

В положении равновесия эти две силы уравновешивают друг друга.

Можно также заметить, что если пружина жестко прикреплена к колесу, а не намотана свободным концом на него, то результат задачи будет приблизительным.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.