- •Задача 5. Исследование механической системы с применением уравнений Лагранжа второго рода
- •13.3. Кинетический потенциал и циклические координаты
- •Обобщенные координаты, которые не входят явно в выражение кинетического потенциала l, называются циклическими координатами.
- •13.4. Последовательность решения задач на составление уравнений Лагранжа
- •13.5. Малые свободные колебания механической системы с одной степенью свободы
- •Глава 14. Вариационные интегральные принципы классической механики
- •14.1. Общие понятия
- •14.2. Дифференцирование и варьирование в механике
- •14.3. Вариационный принцип Гамильтона — Остроградского
- •Глава 15. Теория удара
- •15.1. Явление удара
- •15.3. Классификация видов удара
- •15.4. Потеря кинетической энергии при ударе. Теорема Карно
- •Кинетическая энергия тел в конце удара
- •Потеря кинетической энергии тел за время удара
- •15.5. Теорема об изменении кинетического момента
- •15.6. Действие ударных сил на твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси и совершающее плоское движение
- •15.7. Последовательность решения задач по определению скоростей соударяющихся тел
- •Тригонометрические величины
13.4. Последовательность решения задач на составление уравнений Лагранжа
Последовательность составления уравнений Лагранжа:
1) определить число степеней свободы материальной системы;
2) выбрать систему координат и ввести независимые обобщенные координаты в числе, равном числу степеней свободы;
3) определить обобщенные силы системы , соответствующие избранным обобщенным координатам;
4) вычислить кинетическую энергию Т рассматриваемой системы материальных точек;
5) найти частные производные от кинетической энергии по обобщенным скоростям , т.е. , а затем вычислить производные от них по времени
;
6) определить частные производные от кинетической энергии Т по обобщенным координатам: , т.е.
;
7) полученные в пунктах 3,5 и 6 результаты подставить в уравнения Лагранжа.
Задача 3.26. Масса тележки 1 имеет , а масса находящегося на ней сплошного цилиндрического катка 2 равна . Определить, с каким ускорением будет двигаться тележка вдоль горизонтальной плоскости под действием приложенной к ней силы (рис. 3.88), если каток при этом катится по тележке без скольжения. Массой колес тележки пренебречь.
Рис. 3.88
Решение. Система имеет две степени свободы (независимы перемещение катка относительно тележки и перемещение самой тележки). В качестве обобщенных координат выберем координату х тележки и координату s центра масс катка относительно тележки. Тогда уравнения Лагранжа для системы будут:
. (а)
Кинетическая энергия тележки
и катка
,
где - абсолютная скорость центра С катка и численно . Так как для сплошного цилиндра
,
а при качении без скольжения
,
где s – относительная скорость центра С по отношению к тележке (считать здесь было бы ошибкой), то окончательно получим
. (б)
Тогда
. (в)
Для определения обобщенных сил дадим сначала системе возможное перемещение, при котором координата х получает приращение δх>0. На этом перемещении
.
На перемещении же, при котором s получает приращение δs, очевидно, . Следовательно,
.
Подставляя эти значения и и значения производных, определяемые формулами (в), в равенстве (а), найдем следующие дифференциальные уравнения движения системы:
. (г)
Из последнего уравнения , тогда первое уравнение дает окончательно для ускорения а1 тележки значение
.
Если каток был бы на тележке закреплен неподвижно, то ее ускорение, очевидно, равнялось бы .
Отметим еще один результат. Допустим, что трения катка о тележку нет. Тогда он по тележке будет скользить, двигаясь поступательно, и
.
Легко видеть, что первое из уравнений (г) при этом не изменится, а второе, так как теперь
примет вид и дает . В результате из первого уравнения системы (г) находим для ускорения тележки значение
.
Объясняется такой результат тем, что при отсутствии трения тележка не увлекает с собой катка и движется так, как если бы катка на ней вообще не было.