1. Метод простих ітерацій

Будемо використовувати позначення попередньої лекції. Зокрема, ми будемо розглядати систему лінійних алгебраїчних рівнянь (1.3.1), яку можна записувати й у матричному виді, згаданому в попередній лекції:

(3.1.1) .

Нагадаємо, що тут А - матриця системи, B - стовпець вільних членів, а X - стовпець невідомих. У попередній лекції мова йшла про таке рішення системи (3.1.1), що з математичної точки зору є точним. У дійсності жоден комп'ютер не маніпулює з точними числами - там числа наближені; тому й при методі Гаусса, і при методі Крамера, і при методі жордановых виключень у дійсності комп'ютер видасть не точний, а наближена відповідь, хоча в самих цих методів «погрішність методу» дорівнює нулю.

Існують, однак, методи рішення системи (3.1.1), які по самій своїй природі дають не точний, а наближена відповідь. Найвідомішим з таких методів є метод простих ітерацій. От його опис.

Перетворимо систему (3.1.1) до іншого виду, виражаючи всі невідомі через самих себе, -

(3.1.2)

де - нові числові матриці, а Х - колишній стовпець невідомих. Перехід від (3.1.1) до (3.1.2) можна зробити багатьма способами. От приклад: є система

;

з першого рівняння одержимо із другого рівняння отже, при такому перетворенні

Нехай стовпцю невідомих Х довільним образом приписане конкретне числове значення Тоді виникає можливість за допомогою матричної рівності (3.1.2) побудувати рекурентно стовпці , де k=2,3,4,... . Виявляється, що при деяких умовах на D стовпці «наближаються як завгодно близько» до рішення системи (3.1.1). Дія по обчисленню за допомогою називається ітерацією; звідси – метод ітерацій.

Уведемо нові терміни для точного вираження останнього твердження.

Нехай - стовпець із n чисел, записаний заради економії місця у вигляді рядка, заданий для кожного k=1,2,3,... . Нехай, далі, є стовпець Назвемо відстанню від до число

ясно, що - числова послідовність; якщо ця числова послідовність прагне до нуля, то говорять, що стовпці прагнуть до стовпця Z або що Z є межею послідовності .

Таким чином, метод ітерацій рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь складається в побудові послідовності , що має своєю межею стовпець-рішення.

Основне в організації процесу ітерацій - створити таку матрицю D, щоб послідовність стовпців сходилася до рішення. Сформулюємо дві умови, при виконанні кожного з яких процес ітерацій сходиться:

(1) якщо , те процес ітерацій сходиться до рішення системи (3.1.1);

(2) якщо , те процес ітерацій сходиться до рішення системи (3.1.1).

2. Метод Зейделя

Як і раніше розглядається питання про рішення системи (3.1.1). У попередньому пункті

був описаний метод простих ітерацій для рішення такої системи. Суть методу полягала в тому, що від системи (3.1.1) треба перейти до системи (3.1.2), а потім організувати процес ітерацій . Метод Зейделя полягає в тому, що ітерації здійснюються трохи інакше. А саме, розпишемо рівність у вигляді звичайних числових рівностей:

згідно із цими рівностями, числа відшукуються через числа Зейдель запропонував відшукувати по , використовуючи ті ж самі формули. Іншими словами, в ітераціях по Зейделю враховуються вже знайдені значення наближень. Сформулюємо остаточно метод Зейделя: послідовність ітерацій будується по формулах:

Питання про збіжність процесу ітерацій до рішення вирішується тут так само, як і вище у випадку простих ітерацій: все залежить від матриці D. Умови тут ті ж, що й вище.