3.4. Методика рішення алгебраїчного рівняння
Ми
зупинимося тут докладніше на методиці
рішення алгебраїчного рівняння, тобто
рівняння виду:
,
ліву частину якого будемо позначати
також через
;
нагадаємо, що мова йде тільки про
речовинні коріння.
При
роботі тої або іншої процедури часто
виникає необхідність обчислити значення
при якімсь
;
організацію обчислення значення
зручно проводити за схемою
Горнера:
будується рекурсія
де
,
,
так що
.
Далі
помітимо, що з алгебри відомо наступне:
існує проста формула, по якій установлюється
інтервал (-R,R)
такий, що якщо рівняння
має який-небудь (нагадуємо: речовинний!)
корінь, то він виявляється усередині
цього інтервалу, а саме:
,
де
.
Припустимо
тепер, що відносно похідній
багаточлена
відомі інтервали її знакопостоянства,
тобто такі точки
,
що на ділянках
функція
знак не міняє, а проходячи через кожну
із крапок
міняє знак. Неважко обґрунтувати в цій
ситуації наступні висновки: 1) якщо
усередині інтервалу (-R,R)
крапок
немає взагалі й
,
те корінь (нагадуємо: речовинний!) у
рівняння
немає; 2) якщо в інтервалі (-R,R)
крапки
виявилися, то треба прорахувати
в цих крапках і в крапках
; якщо серед цих значень нуля немає й
всі вони мають той самий знак, то корінь
(нагадуємо: речовинних!) рівняння
не має; якщо ж серед цих значень будуть
числа з різними знаками, те це дозволить
виділити всі ділянки, на кінцях яких
має різні знаки, а усередині яких
знак не міняє. До кожної такої ділянки
застосовна процедура уточнення кореня
(ділення відрізка навпіл, методи хорд
і дотичних).
І ще одне зауваження. Якщо речовинних коріння (усі) рівняння відомі, то по них повністю відновлюються ділянки знакопостоянства функції : треба прорахувати між будь-якими двома сусідніми коріннями й по сукупності знаків отриманих чисел зробити висновок.
Процедуру
з'ясування ділянок знакопостоянства
похідній
можна організувати так. Обчислимо
похідні багаточлена
:
;
помітимо, що похідна
- лінійна функція. Тому ділянки її
знакопостоянства можна обчислити. Якщо
,
то вже можливі формальні дії по описаній
вище схемі по уточненню корінь вихідного
рівняння. Якщо ж
,
то вирішимо по описаній вище схемі
рівняння
й по його коріннях установимо ділянки
знакопостоянства функції
;
потім вирішимо по описаній вище схемі
рівняння
й по його коріннях визначимо ділянки
знакопостоянства функції
й так далі, поки не виявиться вирішеним
вихідне рівняння
.
Отримана
в процесі рішення інформація дозволяє
встановити також і кратність кожного
кореня рівняння
;
нагадаємо, що корінь
рівняння
вважається
має кратність
,
якщо
,
але
.
У цьому випадку, як відомо з алгебри,
має місце представлення
,
де
- багаточлен ступеня
.
Для визначення значення полінома використовується таблиця Горнера.
Лекция 4
МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗКУ СИСТЕМ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ. ЧИСЕЛЬНІ РІШЕННЯ РІВНЯНЬ. МЕТОД ПРОСТИХ ІТЕРАЦІЙ І МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ ДЛЯ РІШЕННЯ АЛГЕБРАЇЧНИХ ЛІНІЙНИХ СИСТЕМ. МЕТОД ІТЕРАЦІЙ ДЛЯ РІШЕННЯ НЕЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ І ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ РІВНЯНЬ
І ЇХНІХ СИСТЕМ