3.1. Метод ділення відрізка навпіл для розв'язання рівнянь

Мова як і раніше йде про відшукання корінь рівняння (3.3.1)

,

т.е. таких чисел , що при підстановці в рівняння замість символу числа виходить тотожність. Саме собою зрозуміло, що тут, як і всюди в цьому курсі, мова йде тільки про речовинні числа.

Про функцію в міркуваннях, що нижче приводяться, як і раніше передбачається, що вона має безперервні похідні тих порядків, які згадуються по ходу викладу.

Нагадуємо, відокремити корінь рівняння (3.3.1) - це значить знайти такий інтервал (a,b), що, по-перше, містить корінь рівняння (3.3.1) і, по-друге, містить тільки один корінь цього рівняння. Доводиться, що якщо на кінцях деякого інтервалу (a,b) функція має різні знаки, а усередині цього інтервалу похідна знак не міняє, то в інтервалі (a,b) корінь рівняння (3.3.1) є й, притім, тільки один.

Звідси виникає проста методика наближеного пошуку кореня, відділеного в інтервалі (a,b): треба побудувати послідовність точок за наступним правилом: потім із двох інтервалів (a,c₁) і (c₁,b)­ вибирається той, на кінцях якого має різні знаки і його середину приймається за ; позначимо кінці цього інтервалу (у якого - середина) через (a₂,b₂), а потім виберемо ту з його половин, на кінцях якої має різні знаки. Нехай (a₃,b₃) - ця половина й - середина цього відрізка й т.д. Доводиться, що побудована послідовність сходиться до кореня рівняння (3.3.1). Якщо із самого початку задається деяка точність обчислень, то на практиці побудова послідовності переривається тоді, коли два рази підряд виходять однакові із заданою точністю числа. Це останнє перед перериванням побудови послідовності число й приймається за наближене із заданим ступенем точності значення кореня.

Описаний метод уточнення кореня називається методом ділення відрізка навпіл.

3.2. Метод хорд для рішення рівнянь

Припустимо тепер на відрізку вже відділений корінь рівняння (3.3.1).

При описі в п.1 методу ділення відрізка навпіл будувалася послідовність відрізків і крапок ., що сходяться до кореня рівняння. У методі хорд теж будується деяка послідовність відрізків і крапок , що сходяться до кореня.

Як відрізок береться відрізок . Точка с₁ береться як точка перетинання з віссю абсцис прямій, що проходить через точки й . Укажемо значення для c₁ у явній формі:

.

Із двох відрізків і виберемо той, на кінцях якого функція має різні знаки й цей відрізок приймемо за . Потім знайдемо точку по відрізку точно так само, як знайшли точку по відрізку : це буде точка перетинання з віссю абсцис прямій, що проходить через точки й :

.

Потім як відрізок береться той з відрізків і , на кінцях якого має різні знаки й т.д. Через послідовність точок наближене значення кореня перебуває так само, як у п.1. Назва методу походить із того, що конструюються по ходу справи прямі є хордами стосовно графіка функції.

3.3. Метод дотичних для розв'язання рівнянь

Знову розглянемо ситуацію відділеного на відрізку кореня рівняння (3.3.1).

Будемо припускати, що функція має різні знаки на кінцях цього відрізка, а її перші дві похідні на цьому відрізку знака не міняють. Перші й друга похідні функції позитивні. У випадку методу дотичні уточнення кореня також будується послідовність відрізків і точок , що сходяться до кореня.

Нехай = . Виберемо той край відрізка , на якому функція має той же знак, що і її друга похідна. У нашім прикладі на наведеній вище схемі - це крапка b. Проведемо через точку дотичну до графіка функції . Точку перетинання цій дотичній з віссю абсцис і приймемо за точку c₁. От відповідна формула для розглянутого випадку:

Неважко одержати аналогічні формули для випадків, коли знаки згаданих вище значень інші. Важливий принцип: дотична проводиться до графіка в тій точці, де знак значення функції збігається зі знаком її другої похідної. Після цього із двох відрізків і виберемо той, на кінцях якого функція має різні знаки й цей відрізок приймемо за . Потім знайдемо крапку по відрізку точно так само, як знайшли точку по відрізку й т.д. Через послідовність точок наближене значення кореня перебуває так само, як у п.1.