- •Введение
- •Часть I
- •1. Кинематика материальной точки
- •1.1. Пространство и время
- •1.2. Системы отсчета
- •1.3. Материальная точка
- •1. 4. Способы описания движения материальной точки. Скорость. Ускорение
- •Векторный способ
- •Координатный способ
- •Описание движения с помощью параметров траектории
- •1.5. Кинематика вращательного движения
- •1.6. Степени свободы и обобщенные координаты
- •2. Динамика материальной точки
- •2.1. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета
- •2.2. Сила. Масса тела
- •2.3. Второй закон Ньютона
- •2.4. Роль начальных условий
- •2.5. Третий закон Ньютона.
- •2.6. Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея
- •3. Движение в неинерциальных системах отсчета
- •3.1. Кинематика относительного движения
- •3.2. Силы инерции
- •634050, Томск, пр. Ленина, 34а, тел. (382-2) 23-33-35
Описание движения с помощью параметров траектории
Если траектория материальной точки задана, то задача описания движения этой точки сводится к указанию закона движения этой точки вдоль траектории. Некоторая точка траектории принимается за начальную, а положение любой другой определяется расстоянием s, измеренным вдоль траектории от начальной точки. В этом случае движение описывается зависимостью .
Рис.
1.5
.
Тогда скорость материальной точки определится следующим образом:
.
Пусть материальная точка совершила перемещение , а – расстояние между двумя точками вдоль траектории, – расстояние между ними по прямой линии (рис.1.5). Ясно, что по мере сближения точек разница в этих величинах уменьшается. Тогда производная радиус-вектора по расстоянию определится следующим образом:
,
где – единичный вектор, направленный по касательной к траектории в данной точке. И поскольку , то модуль скорости , следовательно,
,
то есть скорость направлена по касательной к траектории.
Вектор ускорения теперь можно записать следующим образом:
.
Выясним физический смысл производной . Единичный касательный вектор полностью определяется точкой траектории, которая в свою очередь однозначно характеризуется расстоянием s от точки, принятой за начальную. Поэтому , где s является функцией времени. Таким образом, и, следовательно,
.
Вектор перпендикулярен . Покажем это, для чего продифференцируем равенство , выражающее постоянство модуля вектора :
Рис.
1.6
Следовательно, вектор перпендикулярен . Поскольку вектор направлен по касательной к траектории в данной точке, вектор перпендикулярен этой касательной, то есть направлен по нормали к касательной.
Определим модуль вектора . Пусть за время единичный вектор повернулся на угол , тогда – приращение вектора за время (рис.1.6). Так как , а , то . Следовательно, производная определяет скорость поворота касательной при перемещении материальной точки вдоль плоской кривой и называется кривизной в данной точке кривой
.
Величина, обратная , называется радиусом кривизны в данной точке кривой
.
Радиус кривизны представляет собой радиус окружности, которая сливается в данном месте с кривой на бесконечно малом ее участке. Определим положение центра этой окружности.
Пусть материальная точка переместилась вдоль траектории из положения 1 в положение 1 (рис.1.7). Опустим перпендикуляры к единичным векторам и , они пересекутся в точке О. Если точку 1 приближать к точке 1, точка О будет перемещаться вдоль прямой и в пределе окажется в некоторой точке О, которая называется центром кривизны для точки 1. Расстояния и будут при этом сближаться к общему пределу , равному радиусу кривизны в точке 1.
Рис.
1.7
.
Рис.
1.8
Очевидно, что модуль полного ускорения может быть выражением
.
При движении точки по окружности нормальное ускорение часто называют центростремительным, поскольку центр кривизны траектории для всех ее точек в этом случае один и тот же и совпадает с центром окружности.