1. 4. Способы описания движения материальной точки. Скорость. Ускорение

Существует три способа описания движения точки: векторный, координатный и естественный. Рассмотрим их последовательно.

Векторный способ

Рис. 1.1

В этом способе положение движущейся точки А задают вектором

, проведенным из некоторой неподвижной точки О выбранной системы отсчета в точку А. Этот вектор называется радиус-вектором. При движении точки А ее радиус-вектор меняется в общем случае как по модулю, так и по направлению, то есть радиус-вектор является функцией времени . Геометрическое место концов радиус-вектора называют траекторией точки А.

Поместим начало системы отсчета в точку О. Обозначим радиус-вектор начального положения точки А через , а радиус-вектор конечного положения через . Если за промежуток времени точка А переместилась из положения 1 в положение 2, то вектор называется вектором перемещения точки. Длина участка траектории между точками 1 и 2 называется путем или расстоянием, пройденным точкой.

Отношение называется средней скоростью материальной точки за время :

Вектор средней скорости совпадает по направлению с вектором перемещения.

Помимо средней скорости можно ввести понятие мгновенной скорости, то есть скорости в каждый момент времени. Мгновенная скорость определится следующим образом:

При уменьшении промежутка времени вектор перемещения будет поворачиваться вокруг точки 1 и в пределе займет положение касательной к траектории в точке 1. Таким образом, мгновенная скорость равна производной от радиус-вектора по времени и направлена по касательной к траектории в данной точке в сторону движения. Мгновенная скорость характеризует быстроту изменения радиус-вектора со временем. Модуль мгновенной скорости . Следует иметь ввиду, что в общем случае .

Движение материальной точки характеризуется также ускорением. Вектор ускорения определяет быстроту изменения вектора скорости, следовательно, ускорение – это производная скорости по времени

Направление вектора ускорения совпадает с направлением вектора приращения скорости . Модуль вектора ускорения равен

Таким образом, зная зависимость радиус-вектора от времени, можно найти скорость и ускорение точки в каждый момент времени.

Можно поставить и обратную задачу: найти радиус-вектор и скорость материальной точки, если известна зависимость ускорения от времени. Для решения этой задачи недостаточно знать только зависимость ускорения от времени, необходимо еще знать так называемые начальные условия, а именно скорость и радиус-вектор в некоторый начальный момент времени . Рассмотрим простейший случай, когда в процессе движения ускорение остается постоянным. За промежуток времени элементарное приращение скорости