2.4. Роль начальных условий
Векторное уравнение движения материальной точки можно записать в координатной форме:
,
,
,
Здесь
использовано обозначение
Эти три скалярных уравнения, эквивалентные одному векторному уравнению, являются дифференциальными, и потому их недостаточно для однозначного описания движения материальной точки. Каждое из этих уравнений – дифференциальное уравнение второго порядка. По этой причине для однозначного описания движения точки к уравнениям движения надо присоединить дополнительные данные, определяющие значения шести числовых постоянных. В качестве таковых обычно берут значения pадиус-вектора и скорости или каких-либо двух их функций в момент времени . Эти значения называются начальными условиями.
Выясним
этот вопрос на примере движения
материальной точки в поле силы тяжести
Земли. Пренебрегая зависимостью ускорения
свободного падения от высоты над земной
поверхностью и широты местности, можно
записать, что сила, действующая на тело
в поле тяжести Земли
,
а потому уравнение движения переходит
в уравнение вида
.
Это уравнение эквивалентно двум уравнениям:
,
.
Этим уравнениям удовлетворяют следующие решения:
,
(2.2)
при
произвольных значениях постоянных
векторов
и
.
Решение (2.2) является общим. Общее решение – это целое семейство решений, зависящих от двух произвольных векторных постоянных и . Придавая этим постоянным какие-либо конкретные значения, можно выделить из этого семейства частное решение. Постоянная – начальная скорость движущейся точки, – ее радиус-вектор в начальный момент времени. Величины и называются начальными условиями. В зависимости от начальных условий движения могут сильно отличаться друг от друга: тело может двигаться вверх или вниз по прямой линии, может описывать параболу, достигая или не достигая ее вершины. Получается довольно разнообразный класс движений. Заслуга Ньютона и состоит в том, что он показал, что все многообразие движений может быть описано единой формулой, не содержащей никаких произвольных постоянных, если от положений и скоростей материальной точки перейти к ее ускорению. Таким образом, любое движение материальной точки в классической механике можно описать уравнением движения
.
Но если
,
то
– постоянная величина, отсюда следует.
что
– постоянная, то есть импульс, а с ним
и скорость свободно движущейся
материальной точки постоянны, то есть
для свободной частицы первый закон
Ньютона является просто законом
сохранения ее импульса. Таким образом,
формально первый закон Ньютона является
следствием второго закона. Почему же
тогда он выделяется в самостоятельный
закон? Дело в том, что уравнение, выражающее
второй закон Ньютона, только тогда имеет
смысл, когда указана система отсчета,
в которой оно справедливо. Выделить же
такую систему отсчета позволяет первый
закон Ньютона. Он утверждает, что
существует система отсчета, в которой
свободная материальная точка движется
без ускорения. В такой системе отсчета
движение всякой материальной точки
подчиняется уравнению движения Ньютона.
То есть, по существу, первый закон нельзя
рассматривать как простое логическое
следствие второго. Связь между этими
законами более глубокая.