2.6. Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея

В 1632 году в книге “Диалог о двух главнейших системах мира: Птолемеевой и Коперниковой” Галилей ввел принцип относительности, ставший одним из первых основных принципов физики. Согласно этому принципу, все ИСО по своим механическим свойствам эквивалентны друг другу. Это значит, что никакими механическими опытами, проводимыми внутри данной ИСО, нельзя установить, покоится эта система или движется равномерно и прямолинейно.

Этот принцип является обобщением опыта и подтверждается всем многообразием приложений Ньютоновской механики к движению тел, скорости которых значительно меньше скорости света. Все сказанное достаточно ясно свидетельствует об исключительности свойств ИСО. В силу чего именно эти системы должны, как правило, использоваться для изучения механических явлений.

Рис. 2.2

Найдем формулы преобразования координат при переходе от одной ИСО к другой. Допустим, что система отсчета S инерциальна. Рассмотрим вторую систему отсчета S', движущуюся относительно первой поступательно с постоянной скоростью . Пусть известно движение точки в одной из этих систем, например в системе S. Как найти движение той же точки в системе S'? В нерелятивистской механике задача сводится к нахождению формул, выражающих координаты движущейся точки в системе S' через ее координаты в системе S в один и тот же момент времени. Начало координат и направление координатных осей можно выбрать произвольно как в системе отсчета S, так и в системе отсчета S'. Если системы координат, связанные с телом отсчета, неподвижны друг относительно друга и отличаются одна от другой только положением начал и направлением координатных осей, то преобразование координат представляет геометрическую задачу. Ее решение известно из аналитической геометрии. Необходимо выяснить, что нового вносит в вопрос о преобразовании координат движение одной системы отсчета относительно другой. Для простоты можно принять, что координатные оси системы S соответственно параллельны координатным осям системы S' и что в начальный момент начало системы координат S совпадает с началом системы координат S'. Кроме того, предположим, что скорость движения системы отсчета S' параллельна оси . При этих условиях ось будет все время совпадать с осью . Такие упрощения в постановке задачи не мешают ее общности, поскольку переход к общим формулам может быть совершен дополнительным переносом начала координат и поворотом координатных осей.

Пусть в момент времени t движущаяся точка находится в положении M (рис. 2.2). За время t начало координат S' переходит из точки О в положение , причем, так как то

, (2.3)

где и – радиус-векторы движущейся точки соответственно в системе S и .

Запишем соотношения (2.3) в проекциях на оси координат:

(2.4)

Формулы обратного преобразования имеют вид

или в координатной форме

(2.5)

Формулы (2.4) и (2.5) и дают решение поставленной задачи. Они называются преобразованиями Галилея. Мы присоединили к формулам преобразования координат дополнительное выражение , чтобы явно отметить, что в нерелятивистской кинематике время считается абсолютным и потому не преобразуется.

С точки зрения “здравого смысла” преобразования Галилея кажутся очевидными. Однако в основе вывода лежит предположение нерелятивистской кинематики об абсолютности длин и промежутков времени. Абсолютность времени явно отмечена в уравнении , при выводе остальных формул использовалось предположение об абсолютности длин. Действительно, формулы (2.3–2.5) были бы очевидными, если бы и измерялись в одной системе отсчета. Мы же измеряем их в разных системах отсчета. По этой причине без предположения об абсолютности расстояний и промежутков времени нельзя обойтись. Релятивистская физика отказалась от такой абсолютности.

Чтобы получить формулы сложения скоростей в нерелятивистской механике, продифференцируем (2.3) по времени:

,

или

, (2.6)

где – скорость точки в системе S, а – в системе . Эта формула выражает нерелятивистский закон сложения скоростей.

Дифференцируя второй раз, получим

, (2.7)

где – ускорение точки в системе S, – в системе . То есть ускорение в обеих системах одинаково. Следовательно, ускорение инвариантно относительно преобразований Галилея.

По определению ИСО свободная материальная точка движется в системе S без ускорения. Формула (2.7) показывает, что движение данной материальной точки в системе также будет неускоренным. Следовательно, – также инерциальная система отсчета. Таким образом, система отсчета, движущаяся относительно инерциальной системы отсчета прямолинейно и равномерно, также является инерциальной системой. Если существует хотя бы одна ИСО, то существует и бесконечное множество ИСО, движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно.

Сила является функцией только инвариантных величин: разностей координат и разностей скоростей взаимодействующих точек. Поэтому она не меняется при переходе от одной системы отсчета к другой, иначе говоря, сила инвариантна относительно преобразований Галилея. Отсюда следует, что уравнение, выражающее второй закон Ньютона, остается неизменным при переходе от одной системы отсчета к другой. Такие уравнения называются инвариантными. Таким образом, уравнения механики Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея. Это утверждение и составляет содержание принципа относительности Галилея.

Равноправие ИСО дает возможность в каждом конкретном случае подбирать систему координат, наиболее удобную для решения рассматриваемой задачи.

Итак, принцип относительности Галилея выражает полное равноправие всех ИСО. Однако значит ли это, что одно и то же движение выглядит одинаково во всех ИСО? Движение тела, упавшего с полки равномерно движущегося вагона, является прямолинейным, если его рассматривать относительно вагона. Но то же самое движение происходит по параболе в системе отсчета, связанной с полотном железной дороги, хотя законы механики Ньютона одинаковы в обеих системах отсчета. Движения выглядят по-разному, так как законы Ньютона выражаются дифференциальными уравнениями, а таких уравнений недостаточно, чтобы полностью определить движение в каждом конкретном случае. Для этого нужно к дифференциальным уравнениям присоединить начальные условия: задать начальное положение тела и его начальную скорость. Приведенный пример и является иллюстрацией к важной роли для описания характера движения начальных условий. Хотя сам закон движения, именно потому, что записан в дифференциальной форме, является инвариантом.