Описание движения с помощью параметров траектории

Если траектория материальной точки задана, то задача описания движения этой точки сводится к указанию закона движения этой точки вдоль траектории. Некоторая точка траектории принимается за начальную, а положение любой другой определяется расстоянием s, измеренным вдоль траектории от начальной точки. В этом случае движение описывается зависимостью .

Рис. 1.5

Таким образом, в данном случае каждая точка характеризуется своим значением s, следовательно, ее радиус-вектор является функцией s и траектория может быть задана уравнением , и радиус-вектор можно рассматривать как сложную функцию времени

.

Тогда скорость материальной точки определится следующим образом:

.

Пусть материальная точка совершила перемещение , а – расстояние между двумя точками вдоль траектории, – расстояние между ними по прямой линии (рис.1.5). Ясно, что по мере сближения точек разница в этих величинах уменьшается. Тогда производная радиус-вектора по расстоянию определится следующим образом:

,

где – единичный вектор, направленный по касательной к траектории в данной точке. И поскольку , то модуль скорости , следовательно,

,

то есть скорость направлена по касательной к траектории.

Вектор ускорения теперь можно записать следующим образом:

.

Выясним физический смысл производной . Единичный касательный вектор полностью определяется точкой траектории, которая в свою очередь однозначно характеризуется расстоянием s от точки, принятой за начальную. Поэтому , где s является функцией времени. Таким образом, и, следовательно,

.

Вектор перпендикулярен . Покажем это, для чего продифференцируем равенство , выражающее постоянство модуля вектора :

Рис. 1.6

.

Следовательно, вектор перпендикулярен . Поскольку вектор направлен по касательной к траектории в данной точке, вектор перпендикулярен этой касательной, то есть направлен по нормали к касательной.

Определим модуль вектора . Пусть за время единичный вектор повернулся на угол , тогда – приращение вектора за время (рис.1.6). Так как , а , то . Следовательно, производная определяет скорость поворота касательной при перемещении материальной точки вдоль плоской кривой и называется кривизной в данной точке кривой

.

Величина, обратная , называется радиусом кривизны в данной точке кривой

.

Радиус кривизны представляет собой радиус окружности, которая сливается в данном месте с кривой на бесконечно малом ее участке. Определим положение центра этой окружности.

Пусть материальная точка переместилась вдоль траектории из положения 1 в положение 1 (рис.1.7). Опустим перпендикуляры к единичным векторам и , они пересекутся в точке О. Если точку 1 приближать к точке 1, точка О будет перемещаться вдоль прямой и в пределе окажется в некоторой точке О, которая называется центром кривизны для точки 1. Расстояния и будут при этом сближаться к общему пределу , равному радиусу кривизны в точке 1.

Рис. 1.7

Таким образом, вектор , где  – единичный вектор, направленный в данной точке траектории по нормали к касательной. И следовательно, полное ускорение можно представить как сумму двух векторов, один из которых направлен по касательной в данной точке траектории и равен по модулю производной от модуля скорости по времени, а второй – направлен по нормали к касательной и по модулю равен , где – радиус кривизны в данной точке:

.

Рис. 1.8

Первое слагаемое называется тангенциальным ускорением и определяет быстроту изменения скорости по модулю. Второе слагаемое называется нормальным ускорением и определяет быстроту изменения вектора скорости по направлению.

Очевидно, что модуль полного ускорения может быть выражением

.

При движении точки по окружности нормальное ускорение часто называют центростремительным, поскольку центр кривизны траектории для всех ее точек в этом случае один и тот же и совпадает с центром окружности.