Координатный способ

Рис. 1.2

В этом способе с выбранным телом отсчета жестко связывают определенную систему координат. Выбор той или иной системы координат определяется рядом соображений: характером или симметрией задачи, постановкой вопроса, а также стремлением упростить само решение. На практике наиболее часто используются следующие системы координат: прямоугольная декартова, цилиндрическая и сферическая. На рис. 1.2 представлена прямоугольная декартова система координат. Различают правую и левую систему координат, которые не могут быть совмещены друг с другом никакими перемещениями и вращениями в пространстве. Они отличаются направлением осей координат . Система координат является правой, если при взгляде на плоскость в положительном направлении оси совмещение оси с осью по кратчайшему пути происходит в результате вращения по часовой стрелке, если против – система считается левой. В физике чаще всего применяется правая система. Во всяком случае необходимо знать, какая система координат используется, так как при переходе от правой к левой системе координат в некоторых формулах изменяются знаки.

Положение любой точки в декартовой системе координат может быть охарактеризовано координатами При этом радиус-вектор точки тоже может быть выражен через ее координаты:

,

где , , – координатные орты, то есть единичные векторы, направленные вдоль координатных осей, – проекции радиус-вектора на оси системы координат.

Вектор мгновенной скорости можно найти, продифференцировав радиус-вектор по времени:

.

С другой стороны, вектор скорости можно разложить по осям декартовой системы координат

.

Из сопоставления двух последних выражений получим, что проекции вектора скорости на оси декартовой системы координат определятся следующим образом:

, , .

Продифференцировав вектор скорости по времени, можно найти вектор ускорения

.

Как и вектор скорости можно разложить по осям декартовой системы координат

.

Тогда проекции вектора ускорения на оси декартовой системы координат определятся следующим образом:

, , .

Модули векторов скорости и ускорения можно определить через их проекции на оси декартовой системы координат:

, .

Направления этих векторов можно задать через направляющие косинусы:

, , ,

где – углы между вектором скорости и направлениями координатных осей .

Таким образом, зная , , , можно определить вектора скорости и ускорения. Кроме того, можно решить и ряд других вопросов: найти траекторию точки, зависимость пройденного ею пути от времени; зависимость скорости от положения точки и другие.

Рис. 1.3

В цилиндрической системе координат положение любой точки также характеризуется тремя числами. Этими числами являются координата Z, расстояние от проекции точки на плоскость XY до начала координат и угол между осью X и прямой  (рис. 1.3). Эти координаты связаны с декартовыми следующими формулами преобразования:

Рис. 1.4

В сферической системе координат (рис.1.4). положение точки определяется расстоянием r до начала координат и углами и . Преобразование от сферических к декартовым координатам производится по формулам

Решение обратной задачи проводится, как и в векторном способе описания движения, путем интегрирования.