3. Движение в неинерциальных системах отсчета

До сих пор рассматривались движения относительно инерциальных систем отсчета. Однако довольно часто мы наблюдаем явления, происходящие в системах, которые не являются инерциальными. Неинрциальной системой отсчета называется система, движущаяся ускоренно относительно инерциальной. Система отсчета связана с телом отсчета, которое принимается за абсолютно твердое. Ускоренное движение твердого тела включает в себя как поступательное движение, так и вращательное. Поэтому простейшими неинерциальными системами отсчета являются системы, движущиеся прямолинейно с ускорением, и вращающиеся системы. При этом возможен двоякий подход к описанию движения: во-первых, кинематическое рассмотрение движения материальной точки относительно ИСО, учитывающее движение неинерциальной системы отсчета относительно инерциальной; во-вторых, изменение основного уравнения динамики таким образом, чтобы оно оказалось справедливым и для неинерциальных систем отсчета.

3.1. Кинематика относительного движения

Пусть имеются две произвольные системы отсчета S и S', движущиеся относительно друг друга. В системе S заданы скорость и ускорение некоторой точки. Нужно найти соответствующие значения скорости и ускорения в системе S'. Рассмотрим последовательно три наиболее важных случая движения одной системы отсчета относительно другой.

1. S'-система движется поступательно по отношению к S-системе.

Рис. 3.1

Пусть в S-системе начало отсчета S'-системы характеризуется радиус-вектором , а ее скорость и ускорение – векторами и . Если положение точки А в S-системе определяется радиус-вектором , а в S'-системе – радиус-вектором , то (рис.3.1). Пусть далее за промежуток времени точка А совершит в S-системе элементарное перемещение . Это перемещение складывается из перемещения вместе с S'-системой и перемещения относительно S'-системы, то есть . Поделив данное выражение на dt, получим следующую формулу преобразования скорости:

. (3.1)

Продифференцировав (3.1) по времени, найдем формулу преобразования ускорения

. (3.2)

Отсюда видно, в частности, что при , то есть при движении S'-системы без ускорения относительно S-системы, ускорения точки А в обеих системах отсчета будут одинаковы.

2. S'-система вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси, неподвижной в S-системе.

Рис. 3.2

Возьмем начало отсчета в S- и в S'-системах в произвольной точке О на оси вращения. Тогда радиус-вектор точки А в обеих системах отсчета будет один и тот же: (рис.3.2).

Если точка А неподвижна в S'-системе, то это значит, что ее перемещение в S-системе за время dt обусловлено только поворотом радиус-вектора на угол (вместе с S'-системой) и равно, согласно (1.1), векторному произведению .

Если же точка А движется относительно S'-системы со скоростью , то за время dt она совершит дополнительное перемещение и тогда, как видно из рис. 3.2,

. (3.3)

Поделив это выражение на dt, получим следующую формулу преобразования скорости:

, (3.4)

где и – скорости точки А в S- и S'-системах отсчета соответственно.

Найдем связь между ускорениями в разных системах отсчета. В соответствии с (3.4) приращение вектора за время в S-системе должно складываться из суммы приращений векторов и , то есть

. (3.5)

Рис. 3.3

Найдем . Если точка А движется в S'-системе с постоянной скоростью ( ), то приращение этого вектора в S-системе обусловлено только его поворотом на угол (вместе с S'-системой) и равно, как и в случае с , векторному произведению . В этом не трудно убедиться, совместив начало вектора с осью вращения. Если же точка А имеет ускорение в S'-системе, то за время вектор получит еще дополнительное приращение и тогда

. (3.6)

Подставим (3.3) и (3.6) в равенство (3.5) и полученное выражение разделим на dt. В результате найдем следующую формулу преобразования ускорения:

, (3.7)

где и – ускорения точки А в S- и S'-системах отсчета. Второе слагаемое в правой части этой формулы носит название кориолисова (или поворотного) ускорения , а третье слагаемое – осестремительного ускорения :

, . (3.8)

Осестремительное ускорение в каждой точке направлено перпендикулярно плоскости, в которой лежат вектора линейной и угловой скоростей вращения неинерциальной системы отсчета.

Таким образом, ускорение точки относительно S-системы равно сумме трех ускорений: ускорения относительно S'-системы, кориолисова ускорения и осестремительного ускорения .

Осестремительное ускорение можно представить в виде , где – радиус-вектор, перпендикулярный оси вращения и характеризующий положение точки А относительно этой оси. Тогда формулу (3.7) можно записать так:

= . (3.9)

3. S'-система вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси, перемещающейся поступательно со скоростью и ускорением по отношению к S-системе.

Этот случай объединяет два предыдущих. Введем вспомогательную S"-систему отсчета, которая жестко связана с осью вращения S'-системы и перемещается поступательно в S-системе. Пусть и скорости точки А в S- и S"-системах отсчета, тогда в соответствии с (3.1) . Заменив , согласно (3.4), выражением , где – радиус-вектор точки А относительно произвольной точки на оси вращения S'-системы, получим следующую формулу преобразования скорости:

. (3.10)

Аналогичным образом, используя (3.2) и (3.9), найдем формулу преобразования ускорения:

. (3.11)

Напомним, что в последних двух формулах , и , – скорости и ускорения точки А соответственно в S- и S'-системах отсчета, и – скорость и ускорение оси вращения S'-системы в S-системе, – радиус-вектор точки А относительно произвольной точки на оси вращения -системы, – радиус-вектор, перпендикулярный оси вращения и характеризующий положение точки А относительно этой оси.