30.Взаимное расположение прямой и плоскости

8. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости и проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

9. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

10. Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.

11. Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпердикулярна и самой наклонной.

12. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, расположенной в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.

13. Если прямая параллельна плоскости, то она параллельна некоторой прямой на этой плоскости.

14. Если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

15. Все точки прямой, параллельной плоскости, одинаково удалены от этой плоскости.

17. 1. Если прямые   и   заданы общими уравнениями

18.  

19.  и  ,

20.  

21. тогда угол между ними равен углу между их нормалями, то есть между векторами   и   

22. Следовательно,

23. .

24.  

25. Условия параллельности и перпендикулярности прямых тоже сводятся к условиям параллельности и перпендикулярности нормалей:

26.  – условие параллельности прямых   и  ;

27.  – условие перпендикулярности прямых   и  .

28. 2. Если прямые   и   заданы каноническими уравнениями

29.  и  ,

30. где   и   направляющие векторы прямых   и  , то по аналогии с пунктом 1 получим:

31. ,

32.  – условие параллельности прямых   и 

33.  – условие перпендикулярности прямых   и  .

Углом между прямой и плоскостью называется любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

31.Вычисление координат точки пересечения прямой с плоскостью

32.Определение расстояния от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости --- это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Если плоскость задана уравнением  , то расстояние   от точки   до этой плоскости можно вычислить по формуле .

Математически верная формулировка

 (где   --- расстояние от точки с координатами   до плоскости  ).

Доказательство.     Расстояние от точки   до плоскости   -- это, по определению, длина перпендикуляра   , опущенного из точки   на плоскость   (рис. 11.9).

Рис.11.9.Расстояние от точки до плоскости

Вектор   и нормальный вектор n плоскости   параллельны, то есть угол   между ними равен 0 или   , если вектор n имеет направление противоположное, указанному на рис. 11.9. Поэтому

Откуда

(11.8)

Координаты точки   , которые нам неизвестны, обозначим   . Тогда   . Так как   , то   . Раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые, получим

(11.9)

Точка   лежит на плоскости   , поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости:   . Отсюда находим, что   .Подставив полученный результат в формулу (11.9), получим   . Так как   , то из формулы (11.8) следует формула (11.7).