1.Теорема об lu-разложении кв. Матрицы. Метод Гаусса решения слау.
Теоретической основой метода Гаусса является следующее разложение:
Теорема: (об lu – разложений матрицы).
Любая квадратная невырожденная матрица А, у которой главные миноры отличные от нуля, может быть представлена в виде произведения двух матриц А=В С, где
В – нижне-треугольная матрица (лево треугольная матрица);
С – верхне-треугольная матрица (право треугольная матрица).
Причём это разложение единственно с точностью до диагональных членов.
Определение: Если мы зафиксируем элементы диагонали, то разложение будет единственно, такое разложение называется разложением с точностью до диагональных членов.
Б
ерут
в качестве фиксированных элементов на
диагонали обычно 1. Так как разложение
матрицы А представляется в виде
произведения, то уравнение (1) преобразуется:
(2).
Определение: Разложение матрицы А в разложение В и С называется прямым ходом метода Гаусса.
Определение: Нахождение вектора х по (3) и (4) называется обратным ходом метода Гаусса.
Р
ешим
уравнение (3):
для этого решим систему уравнений:
Решим уравнение (4):
Пусть имеет место разложение, т.е. А=В С или
Тогда:
, то
, то
, (7)
, (8)
Снятие неопределённости в (7) и (8) следует из правильного порядка вычисления этих формул. Счёт по формулам ведётся следующим образом: с помощью пар индексов счёт ведётся по строкам обеих матриц сразу.
Замечание1:
для уменьшения занимаемой области
памяти ЭВМ в силу свойств матрицы В и С
и формул (7) и (8), возможно хранение матриц
В и С на месте исходной матрицы А, для
этого формулы (7) (8) следует модифицировать
заменив везде
и
на
.
Замечание2: часто возникает ситуация когда необходимо решать множество систем с одной и той же матрицей А, но с различной .
В этом случае достаточно сделать разложение матрицы А на В и С лишь один раз, а затем меняя правую часть вести счёт по формулам (5) и (6).
Методика решения.
1.Выполнить операцию разложения исходной матрицы А, используя формулы (7)
и (8) и получить матрицы В и С.
2.Решить систему
.
3.Решить систему
.
2. Теорема об lu-разложении кв. Матрицы. Нахождения определителя матрицы методом Гаусса. Теорема: (об lu – разложений матрицы).
Любая квадратная невырожденная матрица А, у которой главные миноры отличные от нуля, может быть представлена в виде произведения двух матриц А=В С, где
В – нижне-треугольная матрица (лево треугольная матрица);
С – верхне-треугольная матрица (право треугольная матрица).
Причём это разложение единственно с точностью до диагональных членов.
Определение: Если мы зафиксируем элементы диагонали, то разложение будет единственно, такое разложение называется разложением с точностью до диагональных членов.
Б ерут в качестве фиксированных элементов на диагонали обычно 1. Так как разложение матрицы А представляется в виде произведения, то уравнение (1) преобразуется: (2).
Определение: Разложение матрицы А в разложение В и С называется прямым ходом метода Гаусса.