- •1 Метод Гаусса (lu-разложений).
- •2 Нахождения определителя матрицы методом Гаусса.
- •3 Уточнение решения полученного методом Гаусса.
- •4 Нахождение элементов обратной матрицы методом Гаусса.
- •Пусть дана слау
- •29 Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
- •Свойства коэффициентов Ньютона-Котеса.
- •30 Формула трапеций.
- •Оценим остаточный член:
- •31 Формула Симпсона ( параболы).
- •32 Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
- •Свойства коэффициентов Ньютона-Котеса.
- •33 Квадратурные формулы наивысшей степени точности.
- •Свойства.
- •34 Интегрирование быстроосциллирующих функций.
- •Существование и единственность задачи Коши дается в теореме Пикара.
- •36 Метод Пикара.
- •37 Метод Эйлера.
- •Т.Е. Хоть и не сказано о том, что выполняется условие Липшица, но зато ограничено, и мы можем оценить | |l.
- •48 Метод правой прогонки.
- •49. Метод левой прогонки.
- •51 Метод Либмана.
- •Рассмотрим уравнение эллиптического типа – уравнение Пуассона:
- •53 Метод сеток для решения уравнений параболического типа.
- •8. Итерационные методы решение систем линейно-алгебраических уравнений.
- •Пусть дана слау
- •9. Метод простых итераций для решения линейно-алгебраических уравнений.
- •Нормы векторов и матрицы.
- •11. Метод Зейделя. Условия сходимости метода
- •1.Теорема об lu-разложении кв. Матрицы. Метод Гаусса решения слау.
- •Теорема: (об lu – разложений матрицы).
- •Методика решения.
- •2. Теорема об lu-разложении кв. Матрицы. Нахождения определителя матрицы методом Гаусса. Теорема: (об lu – разложений матрицы).
- •Нахождения определителя матрицы методом Гаусса
- •3.Уточнение решения полученного методом Гаусса.
- •4. Нахождение элементов обратной матрицы методом Гаусса.
- •Пусть дана слау
- •14. Проблема собственных значений. Метод Данилевского.
- •Метод а.М. Данилевского
- •Теорема: Преобразование подобия не изменяет собственных значений матрицы.
- •15. Проблема собственных значений. Степенной метод .
- •Степенной метод.
- •Обозначим соответствующие собственные векторы через
- •Степенной метод имеет задачу нахождения пары:
- •17. Скалярное нелинейное уравнение.Метод половинного деления (дихотомии).
- •Требуются решить уравнение: (1), другими словами – найти нули функции, т.Е. Такие , которые обращают уравнение (1) в тождество.
- •Метод половинного деления
- •12.Метод вращения решения слау
- •18.Скалярное нелинейное уравнение. Метод хорд.
- •Требуются решить уравнение: (1), другими словами – найти нули функции, т.Е. Такие , которые обращают уравнение (1) в тождество.
- •18. Скалярное нелинейное уравнение. Метод касательных.
- •Требуются решить уравнение: (1), другими словами – найти нули функции, т.Е. Такие , которые обращают уравнение (1) в тождество.
- •20.Скалярное нелинейное уравнение. Комбинированный метод хорд и касательных.
- •Требуются решить уравнение: (1), другими словами – найти нули функции, т.Е. Такие , которые обращают уравнение (1) в тождество.
- •21. Скалярное нелинейное уравнение. Метод простых итераций.
- •Требуются решить уравнение: (1), другими словами – найти нули функции, т.Е. Такие , которые обращают уравнение (1) в тождество.
- •22. Система скалярных нелинейных уравнений. Метод простых итераций.
- •Если обозначить
- •23. Система скалярных нелинейных уравнений. Метод наискорейшего спуска.
- •24. Метод скорейшего спуска решения система линейных алгебраических уравнений. Пусть дана система линейных алгебраических уравнений:
53 Метод сеток для решения уравнений параболического типа.
=а2 (1) – уравнение теплопроводности.
Рассмотрим некоторый стержень длины l.
Требуется найти функцию U(x,t), которая удовлетворяет уравнению теплопроводности и подчиняется следующим законам: U(0,t)=1(t)
U(l,t)=2(t) (2) U(x,0)=(x)
Пусть известно начальное распределение температуры стержня (х) при t=0, пусть на концах стержня поддерживаются температуры: 1(t)=U(t,0), 2(t) =U(l,t).
Рассмотрим метод сеток. Введем замену переменной, чтобы избавится от а. =а2t
= Будем рассматривать уравнение без коэффициента а2: при а=1
=[0,1]x[0,l]
Разобьем отрезок [0,l] на n частей с шагом h:
h1= , xi=ih1,
h2 t=jh2,
U(xi,ti)=Uij
U(0,tj)=1j
U(l,tj)=2j U(xi,0)=I
Необходимо найти решение в любой момент времени t.
Требуется осуществить замену дифференциальных операторов на разностные.
В зависимости от того какую будем использовать формулу, получим две формулы:
= (3)
Она работает на шаблоне:
= (4)
Она работает на шаблоне:
Введем замену = , подставим в (3):
Uij+1=(Ui+1j+Ui+1j)+Uij(1-2) (5)
В формулу (4):
Uij(1+2)=Uij-1+(Ui-1j+Ui+1j) (6)
(5) – явная формула, т.к. зная точки на j уровне, мы можем подсчитать на j+1. (6) – неявная формула, т.к. точки на j уровне выражаются через (j-1) уровень. При 0< формула (5) – устойчива, т.е. h2< . (6) – устойчива при любом .
Рассмотрим неявную схему:
=
Для решения в неявном виде придумали метод прогонки.
8. Итерационные методы решение систем линейно-алгебраических уравнений.
Итерационные методы решения СЛАУ позволяют находить решения лишь как результат бесконечного итерационного процесса. Метод является самоисправляющимся, т.е. сбой на каком-либо шаге ведет лишь увеличению числа шагов, но не к потере точности решения.
Пусть дана слау
(1)
Выбирается начальное приближение х(0) , а затем строим все последующие. В общем случае приближения строятся по следующей формуле: (2)
Определение. Итерационный процесс называется m – шаговым, если для образования (k+1) – го приближения используются k предыдущих приближений.
X(k+1)=F(k)(x(k), x(k-1), …, x(k-m+1)).
Как правило, используют m=1, 2.
Определение. Итерационный процесс называется линейным, если функция F(k) линейная функция.
Определение. Итерационный процесс называется стационарным, если функция F(k) не зависит от k.
Всякий итерационный процесс может быть приведен к следующему виду: В(k)x(k+1)=Q(k)x(k)+b(k) (3),
где В(k),Q(k) – некоторые операторы, b(k) – элемент пространства, причем для В(k) существует обратный оператор.
На практике уравнение (1) приводят к виду (3)берут невырожденную матрицу В и итерационный процесс записывают в следующем виде : Вх=Bx+τ(f-Ax) : (3*),
где τ – некоторая константа. Если х* - точное решение уравнения (1), то оно точное решение уравнения (3*).
(k+1) – приближение : Вх(k+1)=Bx(k)+τk+1(f-Ax(k)) : (4). (5)
Канонический вид двухслойной или одношаговой итерационной схемы:
Где τk+1 – итерационный параметр.
Определение. Итерационный процесс называется явным когда для любого номера итерации k оператор Вk=Е.
Требованием любого итерационного процесса является то, что точное решение должно быть не подвижной точкой итерационного процесса.
Определение. Точка называется неподвижной для итерационного процесса, если начиная с некоторого итерационного номера наши решения совпадают: хk=х*..
Теорема: Если х* - точное решение уравнения (1), то оно является неподвижной точкой итерационного процесса (5) или (4).
Всякий итерационный процесс (1), для которого х* - неподвижная точка, может быть приведён к виду (4) или (5).
Док – во:1)Пусть х* - точное решение (1)
Ах*=f
х*=А-1f
Пусть х(0)=х*
В(0)х(1)=В(0)х(0)+τ1(f-x(0))=x(1)=x(0)=x*
2)( )( )(х(k)=x*)
B(k)x*=Q(k)+b(k)
(B(k)-Q(k))x*=b(k) : (*)
С другой стороны х* является решением Ах*=f
τk+1Ax*=τk+1f : (**).
Рассмотрим два уравнения (*) и (**) совместно, т.е.
Q(k)=B(k)-τk+1A B(k)x(k+1)=(B(k)-τk+1A)x(k)+τk+1f
B(k)x(k+1)=B(k)x(k)+τk+1(f-Ax(k))
ч.т.д.
Согласно этой теореме мы имеем канонический вид разложения