Пусть дана слау

(1),

где A – эрмитовая матрица. Идея метода состоит в разложении матрицы в произведение трёх матриц т.е.: A=S^*DS, (DS=B),

Где S – правотреугольная

S= ,

D – диагональная матрица

D= , d_ii=±1

Т.е. СЛАУ (1) примет вид S^*DSx=f.

Если переобозначить S^*=B, DS=C, тогда дальше можно воспользоваться методом Гаусса.

А= = =

=S^*

Для однозначной разрешимости системы потребуем, чтобы диагональные элементы матрицы S были действительными числами и больше нуля. И тогда покажем, что элементы будут находиться однозначно.

1. i<j, то

a_ij= (2)

2. i=j, то

a_ij= = . (3)

3. i=1, то

из (3) a₁₁=׀S₁₁׀²d₁₁ d₁₁=sign(a₁₁), S₁₁=

i=1,то из (2) a_1j= =S₁₁d₁₁S_1j . S_ij=a_ij/S₁₁d₁₁ , j=2,3,…n

4. i=2, то из (3) a₂₂-׀S₁₂׀²d₁₁=׀S₂₂׀d₂₂.

d₂₂= sign(a₂₂-׀S₁₂׀²d₁₁)

i=2, то из (2) a_2j=S₁₂d₁₁S_1j+S₂₂d₂₂S_2j, j=3,4,…n

S_2j=

В общем случае:

d_ii=sign(a_ii- ) (4)

(5)

, j=i+1, i+2, … n (6)

Метод квадратного корня вычисляется в 2 раза быстрее чем метод Гаусса, но надо проверить, чтобы матрица S была эрмитовой, А – положительно определённой, т.е. ( )(Ах,х)>0.

Все главные миноры положительно определённой матрицы – положительны. Если матрица А – действительная, то диагональная матрица D=E , т.е. все её элементы единицы и формулы (4), (5), (6) упрощаются. Существует преобразование системы с произвольной матрицей А, к системе с эрмитовой матрицей: А^*Ах=А^*f

Переобозначив А^*А=В получим:

Вх=g (*),

где В – эрмитовая матрица. Но трансформация Гаусса портит систему, решения уравнения (*) – не устойчиво.

29 Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.

Рассмотрим интервал на котором построена равномерная сетка узлов и известны значения функции в этих узлах:

Тогда

где

Так как система узлов равномерна, то

Следовательно

Отсюда получим

Коэффициенты называются квадратурными коэффициентами Ньтона-Котеса.

Свойства коэффициентов Ньютона-Котеса.

1. Коэффициенты Ньютона-Котеса для узлов равноудаленных от концов отрезка, равны:

2. Сумма всех коэффициентов Ньютона-Котеса на равна 1:

Доказательство: Возьмем в формуле (1) . Тогда

ч.т.д.

3. При и среди коэффициентов Ньютона-Котеса существуют отрицательные коэффициенты.

Как правило, квадратичные формулы строятся с малым числом n т.к. большее число и ведет к росту погрешности.

30 Формула трапеций.

Э то квадратурная формула Ньютона-Котеса при .

Посмотрим имеет ли место квадратурная формула в этом случае.

_{Найдем коэффициенты по формуле Котеса:}

;

.

Тогда .

Найдем погрешность созданную этой формулой:

Будем предполагать, что . Рассмотрим величину как функцию шага . Перепишем зависимость от .

Обратно:

Отсюда - формула остаточного члена квадратурной формулы трапеции.

Она имеет третий порядок точности по шагу, т.е. .

Оценим остаточный член:

31 Формула Симпсона ( параболы).

К вадратурная формула Ньютона-Котеса при . Будем считать, что . Заменим интеграл многочленом Лагранжа. При многочлен Лагранжа – квадратичная функция, т.е. парабола.

Подсчитаем коэффициенты Ньютона-Котеса, используя свойства коэффициентов.

по свойству. Следовательно, формула Симпсона будет выглядеть так:

Найдем величину остаточного члена: . Рассмотрим функцию , как функцию шага , относительно средней точки : .

, ,

,

- есть разностный аналог четвертой производной в некоторой точке.

По формуле Ньютона-Лейбница получим:

,

,

.

В итоге мы получим формулу остаточного члена квадратичной формулы Симпсона: , . Общая формула Симпсона.

Требуется на отрезке вывести равномерную систему узлов. Разобьем отрезок

на равных частей. Число должно быть четным, т.е. , и на каждой паре отрезков применим формулу Симпсона.

- остаточный член для функции Симпсона.

Формула Ньютона-Котеса при выглядит следующим образом: