- •1 Метод Гаусса (lu-разложений).
- •2 Нахождения определителя матрицы методом Гаусса.
- •3 Уточнение решения полученного методом Гаусса.
- •4 Нахождение элементов обратной матрицы методом Гаусса.
- •Пусть дана слау
- •29 Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
- •Свойства коэффициентов Ньютона-Котеса.
- •30 Формула трапеций.
- •Оценим остаточный член:
- •31 Формула Симпсона ( параболы).
- •32 Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
- •Свойства коэффициентов Ньютона-Котеса.
- •33 Квадратурные формулы наивысшей степени точности.
- •Свойства.
- •34 Интегрирование быстроосциллирующих функций.
- •Существование и единственность задачи Коши дается в теореме Пикара.
- •36 Метод Пикара.
- •37 Метод Эйлера.
- •Т.Е. Хоть и не сказано о том, что выполняется условие Липшица, но зато ограничено, и мы можем оценить | |l.
- •48 Метод правой прогонки.
- •49. Метод левой прогонки.
- •51 Метод Либмана.
- •Рассмотрим уравнение эллиптического типа – уравнение Пуассона:
- •53 Метод сеток для решения уравнений параболического типа.
- •8. Итерационные методы решение систем линейно-алгебраических уравнений.
- •Пусть дана слау
- •9. Метод простых итераций для решения линейно-алгебраических уравнений.
- •Нормы векторов и матрицы.
- •11. Метод Зейделя. Условия сходимости метода
- •1.Теорема об lu-разложении кв. Матрицы. Метод Гаусса решения слау.
- •Теорема: (об lu – разложений матрицы).
- •Методика решения.
- •2. Теорема об lu-разложении кв. Матрицы. Нахождения определителя матрицы методом Гаусса. Теорема: (об lu – разложений матрицы).
- •Нахождения определителя матрицы методом Гаусса
- •3.Уточнение решения полученного методом Гаусса.
- •4. Нахождение элементов обратной матрицы методом Гаусса.
- •Пусть дана слау
- •14. Проблема собственных значений. Метод Данилевского.
- •Метод а.М. Данилевского
- •Теорема: Преобразование подобия не изменяет собственных значений матрицы.
- •15. Проблема собственных значений. Степенной метод .
- •Степенной метод.
- •Обозначим соответствующие собственные векторы через
- •Степенной метод имеет задачу нахождения пары:
- •17. Скалярное нелинейное уравнение.Метод половинного деления (дихотомии).
- •Требуются решить уравнение: (1), другими словами – найти нули функции, т.Е. Такие , которые обращают уравнение (1) в тождество.
- •Метод половинного деления
- •12.Метод вращения решения слау
- •18.Скалярное нелинейное уравнение. Метод хорд.
- •Требуются решить уравнение: (1), другими словами – найти нули функции, т.Е. Такие , которые обращают уравнение (1) в тождество.
- •18. Скалярное нелинейное уравнение. Метод касательных.
- •Требуются решить уравнение: (1), другими словами – найти нули функции, т.Е. Такие , которые обращают уравнение (1) в тождество.
- •20.Скалярное нелинейное уравнение. Комбинированный метод хорд и касательных.
- •Требуются решить уравнение: (1), другими словами – найти нули функции, т.Е. Такие , которые обращают уравнение (1) в тождество.
- •21. Скалярное нелинейное уравнение. Метод простых итераций.
- •Требуются решить уравнение: (1), другими словами – найти нули функции, т.Е. Такие , которые обращают уравнение (1) в тождество.
- •22. Система скалярных нелинейных уравнений. Метод простых итераций.
- •Если обозначить
- •23. Система скалярных нелинейных уравнений. Метод наискорейшего спуска.
- •24. Метод скорейшего спуска решения система линейных алгебраических уравнений. Пусть дана система линейных алгебраических уравнений:
14. Проблема собственных значений. Метод Данилевского.
Пусть дана матрица А:
Требуется найти её собственные значения (спектр матрицы) - числа , являющиеся корнями характеристического уравнения (1) .
Определение: Вектор , называется собственным вектором матрицы А соответствующим собственному значению , если имеет место равенство: .
Запишем уравнение (1) в матричном виде
Различают полную и неполную проблему собственных значений. К полной проблеме относится задача определения всех собственных значений и соответствующих собственных векторов. К неполной проблеме – определения некоторых собственных значений и соответствующих собственных векторов.
Существующие численные методы делятся на точные и итерационные.
Метод а.М. Данилевского
Метод относится к точным методам, решающим полную проблему. В основе метода лежит следующая теорема.
Теорема: Преобразование подобия не изменяет собственных значений матрицы.
Рассмотрим не вырождающуюся матрицу S, тогда В=S--1AS для матрицы А будет преобразованием подобия .У матриц А и В собственные значения одни и те же.
Нужно чтобы матрица В была такой, чтобы коэффициенты её характеристического уравнения определялись достаточно просто. Такой матрицей является матрица Фробениуса вида:
Её характеристическое уравнение имеет вид:
где p1,p2 ,…,pn - коэффициенты первой строки матрицы Ф.
Рассмотрим процедуру построчного перевода строк матрицы А в строки матрицы Ф.
Матрица А имеет вид:
Пусть . Разделим предпоследний столбец матрицы А на и вычтем этот столбец умноженный на элементы последней стоки матрицы из других столбцов. Это эквивалентно умножению матрицы А на матрицу справа:
Чтобы преобразование сохранило собственные значения, умножим слева на матрицу . Получим матрицу следующего вида:
,
где последняя строка приведена к виду Фробениуса.
Применяя аналогичные действия, получим:
Но преобразование подобия в общем случае не сохраняет собственные векторы. Покажем это.
Пусть x – собственный вектор матрицы А соответствующий собственному значению , т.е.
,а – собственный вектор преобразованной матрицы соответствующий тому же собственному значению , т.е.
У множая последнее равенство на S слева получим:
Следовательно
собственный вектор можно найти зная матрицу S и собственный вектор
Найдем вектор :
.
В матричном виде :
или
Поскольку собственные вектора определяются с точностью до множителя, поэтому их можно нормировать, деля на какую – либо ненулевую компоненту(например последнюю, задавая её равной 1 ). Покажем, что если - собственный вектор, то - собственный вектор.
Возьмем 1 в качестве последней компоненты вектора , т.е. , тогда из (*) получим
.
первое равенство (*) используется для проверки правильности счета.
15. Проблема собственных значений. Степенной метод .
Пусть дана матрица А:
Требуется найти её собственные значения (спектр матрицы) - числа , являющиеся корнями характеристического уравнения (1) .
Определение: Вектор , называется собственным вектором матрицы А соответствующим собственному значению , если имеет место равенство: .
Запишем уравнение (1) в матричном виде
Различают полную и неполную проблему собственных значений. К полной проблеме относится задача определения всех собственных значений и соответствующих собственных векторов. К неполной проблеме – определения некоторых собственных значений и соответствующих собственных векторов.
Существующие численные методы делятся на точные и итерационные.