- •1 Метод Гаусса (lu-разложений).
- •2 Нахождения определителя матрицы методом Гаусса.
- •3 Уточнение решения полученного методом Гаусса.
- •4 Нахождение элементов обратной матрицы методом Гаусса.
- •Пусть дана слау
- •29 Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
- •Свойства коэффициентов Ньютона-Котеса.
- •30 Формула трапеций.
- •Оценим остаточный член:
- •31 Формула Симпсона ( параболы).
- •32 Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
- •Свойства коэффициентов Ньютона-Котеса.
- •33 Квадратурные формулы наивысшей степени точности.
- •Свойства.
- •34 Интегрирование быстроосциллирующих функций.
- •Существование и единственность задачи Коши дается в теореме Пикара.
- •36 Метод Пикара.
- •37 Метод Эйлера.
- •Т.Е. Хоть и не сказано о том, что выполняется условие Липшица, но зато ограничено, и мы можем оценить | |l.
- •48 Метод правой прогонки.
- •49. Метод левой прогонки.
- •51 Метод Либмана.
- •Рассмотрим уравнение эллиптического типа – уравнение Пуассона:
- •53 Метод сеток для решения уравнений параболического типа.
- •8. Итерационные методы решение систем линейно-алгебраических уравнений.
- •Пусть дана слау
- •9. Метод простых итераций для решения линейно-алгебраических уравнений.
- •Нормы векторов и матрицы.
- •11. Метод Зейделя. Условия сходимости метода
- •1.Теорема об lu-разложении кв. Матрицы. Метод Гаусса решения слау.
- •Теорема: (об lu – разложений матрицы).
- •Методика решения.
- •2. Теорема об lu-разложении кв. Матрицы. Нахождения определителя матрицы методом Гаусса. Теорема: (об lu – разложений матрицы).
- •Нахождения определителя матрицы методом Гаусса
- •3.Уточнение решения полученного методом Гаусса.
- •4. Нахождение элементов обратной матрицы методом Гаусса.
- •Пусть дана слау
- •14. Проблема собственных значений. Метод Данилевского.
- •Метод а.М. Данилевского
- •Теорема: Преобразование подобия не изменяет собственных значений матрицы.
- •15. Проблема собственных значений. Степенной метод .
- •Степенной метод.
- •Обозначим соответствующие собственные векторы через
- •Степенной метод имеет задачу нахождения пары:
- •17. Скалярное нелинейное уравнение.Метод половинного деления (дихотомии).
- •Требуются решить уравнение: (1), другими словами – найти нули функции, т.Е. Такие , которые обращают уравнение (1) в тождество.
- •Метод половинного деления
- •12.Метод вращения решения слау
- •18.Скалярное нелинейное уравнение. Метод хорд.
- •Требуются решить уравнение: (1), другими словами – найти нули функции, т.Е. Такие , которые обращают уравнение (1) в тождество.
- •18. Скалярное нелинейное уравнение. Метод касательных.
- •Требуются решить уравнение: (1), другими словами – найти нули функции, т.Е. Такие , которые обращают уравнение (1) в тождество.
- •20.Скалярное нелинейное уравнение. Комбинированный метод хорд и касательных.
- •Требуются решить уравнение: (1), другими словами – найти нули функции, т.Е. Такие , которые обращают уравнение (1) в тождество.
- •21. Скалярное нелинейное уравнение. Метод простых итераций.
- •Требуются решить уравнение: (1), другими словами – найти нули функции, т.Е. Такие , которые обращают уравнение (1) в тождество.
- •22. Система скалярных нелинейных уравнений. Метод простых итераций.
- •Если обозначить
- •23. Система скалярных нелинейных уравнений. Метод наискорейшего спуска.
- •24. Метод скорейшего спуска решения система линейных алгебраических уравнений. Пусть дана система линейных алгебраических уравнений:
Свойства.
1. - наивысшая степень точности.
Покажем что в случае условие теоремы не выполняется:
Для любого многочлена степени
.
Узлы симметричны на .
все коэффициенты положительны и для симметричных узлов равны.
34 Интегрирование быстроосциллирующих функций.
Осцилляция – быстрое изменение знака. При возрастании числа осцилляция усиливается. Рассмотрим 2 интеграла:
Потребуем, чтобы эти интегралы сходились, для этого функция должна убывать быстрее, чем функция , т.е. ,
где и - некоторые константы больше нуля. Формулы Ньютона-Котеса работают для осцилляционных функций плохо. Выведем квадратурные формулы для интегралов таких типов. Возьмем в качестве весовой функции: . Рассмотрим функцию на конечном интервале : .
Заменим функцию многочленом Лагранжа. Тогда аналогично будем иметь, что
(1)
С ростом числа - степени многочлена, числа узлов, подсчет по формулам (1) затруднителен. Рассмотрим маленький отрезок длины шага . Тогда многочлен есть линейная функция:
Следовательно
Аналогично
Теперь разобьем на интервалов, на каждом из которых применим полученные формулы. Получим в общем, виде:
Представим первоначальный интеграл в следующем виде:
так как , то . Таким образом, формула для синус–преобразования выглядит так:
Аналогично получим формулу для косинус–преобразования:
36-41 Общ. часть
Численные методы решение задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (д. у.).
Будем рассматривать д. у. следующего вида : . Т.е. требуется найти решение уравнения у=f(x,y), вида у=у(х), удовлетворяющее условию у(х0)=у0. Функций, удовлетворяющих уравнений (1) много, но лишь одна из них проходит через точку (х0, у0). Для несложных функций f(x,y) решение такой задачи может быть найдено аналитически.
Существование и единственность задачи Коши дается в теореме Пикара.
Теорема Пикара: если функция f(x,y) определена в некоторой области G={(x,y): |x-x0|a, |y-y0|b} и по переменной у удовлетворяет условию Липщица: |f(x,y1)-f(x,y2)|L|y1-y2|, L – const Липшица, то на некотором отрезке |x-x0| h, h>0 существует и единственно решение задачи Коши (1)-(2).
Если функция f(x) – дифференцируемая, ограничена и по у имеет производную, то в качестве const Липшица можем взять: L= | |. Рассмотрим несколько методов нахождения решения задачи Коши.
36 Метод Пикара.
Основан на расщеплении функции f(x).
Пусть f(x) представляется в виде суммы двух функций: f(x,y)=f1(x,y)+f2(x,y). Таких, чтобы задача Коши с функцией f1 могла бы иметь решение, а функция f2 должна быть достаточно малой функцией. Т.е., чтобы задача Коши: (3) была разрешима для любой функции g.
Если имеет место (3), то можно построить итерационный процесс для решения задачи (1)-(2). Этот итерационный процесс называется итерационным процессом Пикара. Построим его по следующему правилу:
Возьмем у0(х)=у(х0)=у0 за начальное приближение.
, =g(x) - решением этой новой задачи Коши является функция у1(х).
, = g(x) - решением этой новой задачи Коши является функция у2(х).
(4) решением этой задачи Коши является функция ук+1(х).
Самый простой вариант метода Пикара – когда f11, f2=f, тогда задача Коши (4) имеет следующий вид: у(0)=у0
(5)
проинтегрируем уравнение задачи Коши (5) от х0 до х:
(y(k+1))dx= f(x,y (k) (x))dx y(k+1)(x)=y(k+1)(x0)+ f(x,y(k)(x))dx
Решение задачи Коши – интеграл. Вычисление таких интегралов затрудняет процесс вычисления.
(7) - формула Пикара. Выясним сходимость метода:
- функциональная последовательность.
|y(k+1)(x)-y(k)(x)|=| - |=| -
- |=| [f(x,y(k))-f(x, y(k-1))]dx| | f(x,y(k))-f(x, y(k-1))|dx
{для f применим неравенство Липшица} L |yk(x)-yk-1(x)|dx
Т.е. разность на к-том шаге может быть определена через разность на (к-1)-м шаге. Оценим модуль разности при к=1:
|y1(x)-y0(x)| {A= }A(x-x0)
оценим при к=2:
|y2(x)-y1(x)| L |y1-y0|{A= }AL (x-x0)dx=AL =
= L2
оценим при к=3:
|y3(x)-y2(x)| L |y2-y1|{A= }AL2 dx=
= L2 (x-x0)3= L3
в итоге получим: | yk+1(x)-yk(x)| L(k+1)
L(k+1) - это (к+1)-й член ряда Тейлора для функции . Ряд сходится и его (к+1)-й член стремится к нулю при к. Следовательно с увеличением шага итераций к | yk+1(x)-yk(x)|0.
Т.о. метод Пикара сходится.
Замечание: при малых величинах L(x-x0)0.1;0.01 метод Пикара достаточно быстро сходится, решение можно получить за 5-10 итераций с 15-ю точными знаками после запятой
Интегралы в формуле вносят погрешность.