- •1 Метод Гаусса (lu-разложений).
- •2 Нахождения определителя матрицы методом Гаусса.
- •3 Уточнение решения полученного методом Гаусса.
- •4 Нахождение элементов обратной матрицы методом Гаусса.
- •Пусть дана слау
- •29 Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
- •Свойства коэффициентов Ньютона-Котеса.
- •30 Формула трапеций.
- •Оценим остаточный член:
- •31 Формула Симпсона ( параболы).
- •32 Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
- •Свойства коэффициентов Ньютона-Котеса.
- •33 Квадратурные формулы наивысшей степени точности.
- •Свойства.
- •34 Интегрирование быстроосциллирующих функций.
- •Существование и единственность задачи Коши дается в теореме Пикара.
- •36 Метод Пикара.
- •37 Метод Эйлера.
- •Т.Е. Хоть и не сказано о том, что выполняется условие Липшица, но зато ограничено, и мы можем оценить | |l.
- •48 Метод правой прогонки.
- •49. Метод левой прогонки.
- •51 Метод Либмана.
- •Рассмотрим уравнение эллиптического типа – уравнение Пуассона:
- •53 Метод сеток для решения уравнений параболического типа.
- •8. Итерационные методы решение систем линейно-алгебраических уравнений.
- •Пусть дана слау
- •9. Метод простых итераций для решения линейно-алгебраических уравнений.
- •Нормы векторов и матрицы.
- •11. Метод Зейделя. Условия сходимости метода
- •1.Теорема об lu-разложении кв. Матрицы. Метод Гаусса решения слау.
- •Теорема: (об lu – разложений матрицы).
- •Методика решения.
- •2. Теорема об lu-разложении кв. Матрицы. Нахождения определителя матрицы методом Гаусса. Теорема: (об lu – разложений матрицы).
- •Нахождения определителя матрицы методом Гаусса
- •3.Уточнение решения полученного методом Гаусса.
- •4. Нахождение элементов обратной матрицы методом Гаусса.
- •Пусть дана слау
- •14. Проблема собственных значений. Метод Данилевского.
- •Метод а.М. Данилевского
- •Теорема: Преобразование подобия не изменяет собственных значений матрицы.
- •15. Проблема собственных значений. Степенной метод .
- •Степенной метод.
- •Обозначим соответствующие собственные векторы через
- •Степенной метод имеет задачу нахождения пары:
- •17. Скалярное нелинейное уравнение.Метод половинного деления (дихотомии).
- •Требуются решить уравнение: (1), другими словами – найти нули функции, т.Е. Такие , которые обращают уравнение (1) в тождество.
- •Метод половинного деления
- •12.Метод вращения решения слау
- •18.Скалярное нелинейное уравнение. Метод хорд.
- •Требуются решить уравнение: (1), другими словами – найти нули функции, т.Е. Такие , которые обращают уравнение (1) в тождество.
- •18. Скалярное нелинейное уравнение. Метод касательных.
- •Требуются решить уравнение: (1), другими словами – найти нули функции, т.Е. Такие , которые обращают уравнение (1) в тождество.
- •20.Скалярное нелинейное уравнение. Комбинированный метод хорд и касательных.
- •Требуются решить уравнение: (1), другими словами – найти нули функции, т.Е. Такие , которые обращают уравнение (1) в тождество.
- •21. Скалярное нелинейное уравнение. Метод простых итераций.
- •Требуются решить уравнение: (1), другими словами – найти нули функции, т.Е. Такие , которые обращают уравнение (1) в тождество.
- •22. Система скалярных нелинейных уравнений. Метод простых итераций.
- •Если обозначить
- •23. Система скалярных нелинейных уравнений. Метод наискорейшего спуска.
- •24. Метод скорейшего спуска решения система линейных алгебраических уравнений. Пусть дана система линейных алгебраических уравнений:
9. Метод простых итераций для решения линейно-алгебраических уравнений.
Рассмотрим СЛАУ Ах=f (1)
Для того чтобы решить методом простых х=Вх+в (2)
х(к+1)=Вхк+в (3)
Существует условие на матрицу В при котором наш итерационный процесс сходится с любым начальным приближением. Часто в качестве начального приближения используют столбец свободных членов.
Теорема: (Критерий сходимости.)
Для того чтобы итерационный процесс сходился при любом начальном приближении к решению уравнения (2) необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы В были меньше 1, т.е.( )( ).
х(к+1) = В хк + в= В (В х(к-1) + в) + Е в = В2х(к+1) + (В + Е) в = В2 (В х(к-2) + в) + (В + Е) - В3 х(к-2)+(В2+В+Е)в=…=Вк+1х(0)+(Е+В+В2+…+Вк)в : (*)
Лемма1: Матрица Вm 0, m тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы В меньше 1 т.е. ( )( ).
Лемма2: Матричный ряд : Е+В+В2+…+Вк+…
сходится тогда и только тогда, когда Вm 0, m ,причём существует матрица (Е-В)-1, которая и является пределом данного матричного ряда.
Док – во: (теоремы)
Итерационный процесс сходится к решению уравнения (2) : =(Е-В)-1в , х(к+1)→ .
Из (*) следует х(к+1)→ = (Е-В)-1в т.е. к решению уравнения (2).ч.т.д.
Как правилом в практике критерием для выяснения сходимости итерационного процесса не пользуются , т.к. требуется находить собственные значения матрицы В ,нахождение которого задача не менее сложная чем решение самой системы. На практике используют достаточный признак сходимости.
Теорема: (Достаточный признак сходимости)
Для того чтобы итерационный процесс (3) сходился к решению уравнения (2) при любом начальном приближении достаточно чтобы любая из норм матрицы В была меньше 1.
Док – во:
Т.к. все собственные значения матрицы В лежат в круге с центром (0,0) и радиусом г равным норме матрицы В имеем: ( )( ) .ч.т.д.
Нормы векторов и матрицы.
Нормы вектора:
-кубическая норма вектора. (i=1,…,n)
-октаэдрическая форма вектора.
-сферическая форма вектора.
Н ормы матрицы:
, (i=1,…,n)
, (j=1,…,n)
, (k=1,…,n)
Нормы векторов и матриц при употреблении должны быть согласованы:
Метод простых итераций является одношаговым методом. Метод простых итераций стационарен, это явный метод т.к.
: (*)
Приведём к уравнение (*) т.е.
.
Метод простых итераций является линейным методом
11. Метод Зейделя. Условия сходимости метода
Этот метод является модификацией метода простых итераций и в некоторых случаях приводит к более быстрой сходимости. Итерации по методу Зейделя отличаются от простых итераций тем, что при нахождении компоненты приближения сразу используются уже найденные компоненты приближения с меньшими номерами . При рассмотрении развернутой формы системы итерационный процесс записывается в виде:
(1)
В каждое последующее уравнение подставляются значения неизвестных, полученных из предыдущих уравнений, что показано в записи выше стрелками.
Теорема (о достаточном условии сходимости метода Зейделя).
Если для системы какая-либо норма меньше единицы, т.е. , то процесс последовательных приближений (1) сходится к единственному решению исходной системы при любом начальном приближении . Записывая (1) в матричной форме, получаем
(2)
где Н,Р являются разложениями матрицы В, т.е.:
Если В=Н+Р, где Н= Р= .или
, i=1,…,n (3)
Метод является итерационным, одношаговым, стационарным, линейным, неявным.
Преобразуя уравнение (2) к виду , получаем матричную форму итерационного процесса метода Зейделя: , где - матрица перехода. Можно воспользоваться критерием и достаточным признаком сходимости, методом простых итераций для доказательства сходимости.
У метода простых итераций и метода Зейделя разные области сходимости, исходя из критерия сходимости, поскольку максимальное по модулю собственное значение ищется от разных матриц ( и ).Следовательно, существуют матрицы, для которых метод простых итераций сходится, и метод Зейделя не сходится и обратно. В качестве достаточного признака сходимости метода Зейделя используются те же самые ограничения на норму матрицы В.
Замечание: Существуют методы с ещё большей скоростью сходимости , но для симметричных матриц В – это методы релаксации. Методика решения задачи.
1.Преобразовать систему к виду . 2. Задать начальное приближение решения с произвольно или положить , а также малое положительное число (точность). Положить . 3. Произвести расчеты по формуле (1) или (2) и найти . 4. если выполнено условие окончания , процесс завершить и положить . Иначе положить и перейти к пункту 3.