Дэф и их свойства.
Обозначим свойства функций ДЭФ. Они значительно отличаются от свойств обычных гармонических функций при их разложении в ряд Фурье. Кроме уже отмеченного свойства симметричности, при котором существуют семейство независимых функций снижается вдвое, существуют общие и специфические свойства.
Общие свойства:
1. Свойство нулевого среднего: при любом и постоянная составляющая функции равна 0:
|
|
(5.8) |
.
Это свойство идентично гармоническому ряду, но в непрерывной области. В последнем случае вместо суммы присутствует интеграл. При сумма равна , что может быть воспринято как нормирующий множитель.
2. Ортогональность. Это очень важное свойство для любой системы разложения в ряд. В данной интерпретации свойство ортогональности принимает вид:
|
|
(5.9) |
.
Другими словами, разложенные функции при усреднении на интервале из точек равны 0.
3. Симметричность: замена значений аргумента образует ту же функцию:
|
|
(5.10) |
.
4.
Полнота:
при заданном
система из
функций
полная, т. е. любая другая функция
представляет одну из имеющихся.
Предположим, номер функции равен
.
Тогда эта функция идентична ДЭФ с
номером 1.
5. Замкнутость. Является следствием полноты и сводится к следующему:
|
|
(5.11) |
;
.
Выражение
(5.11) означает следующее: процедура
приводит к функции из замкнутой области
,
причем результирующая функция порядка
С
образуется как сумма номеров функций
по модулю
.
Так, при
произведение функций с номерами 7 и 4
даст функцию с номером 2, что легко
проверить по матрице (рис.5.13).
Упомянутые
процедуры могут продлеваться на любое
целочисленное значение
.
При числовой обработке сигналов
практические значения
выбираются в других областях:
256,
512, 1024, 2056 и т. д. (все это степени двойки).
Избыточность информационных потоков и ее практическое использование.
Приведение дэф по модулю и свойства приведения для четного и нечетного n.
Приведем примеры матриц ДЭФ для двух вариантов , четного и нечетного. Рассмотрим четное , например . Матрица значений напоминает таблицу умножения (см.рис.5.5).
|
Рис. 5.7. Матрица ДЭФ при |
|
Матрица а) представляет перечисление фаз в их абсолютном выражении. В частности, фаза последней функции (правый нижний угол) соответствует шести полным оборотам (и еще немного).
Матрица
б) соответствует формуле приведения,
согласно которой из фазовой координаты
вычитается число, удаляющее кратное
число оборотов вектора. В приведенном
нами примере, удаляются цифры, кратные
8. Остаток должен лежать в пределах от
0 до
.
В частности, в элементе, стоящем на
пересечении пятого столбца и седьмой
строки (это число 20), при
получается
.
Приведение по модулю является базовым преобразованием в ЦОС.
Обратим внимание на вторую матрицу б). Она приведена по модулю . При этом остатки от приведения лежат в пределах заданного множества . Приведение сводится к тому, что остаток находится в пределах от 0 до .
Стоит
отметить, что нами принято четное число
.
При этом получается семейство комплексно
сопряженных функций, симметричных
относительно центра сопряжения. В
варианте
центром сопряжения является функция
с номером
.
Если выделить эту функцию и изменять
значения аргумента в пределах от 0 до
,
получаем после приведения, т. е. в
остатках, матрицу типа б).
Приведение по модулю является фундаментальной операцией, приводящей к оригинальным последствиям. Рассмотрим матрицу ДЭФ в полном и приведенном варианте при , т. е. нечетном.
|
Рис. 5.8. Матрица ДЭФ при |
|
В итоге после приведения по модулю получается два семейства комплексно сопряженных функций; количество таких пар равно , а чисто действительная функция одна – нулевая. Это свойство обобщается на любое , причем везде есть разница между четными и нечетными значениями.