10.Обобщение понятия предела функции.

В определение предела функции предполагается, что аргумент х может стремиться к своему пределу а произвольным образом, однако, бывают случаи, что предел ф-ции зависит от того, как х→а, т.е. со стороны меньших или больших значений, чем а.

Если аргумент х→а со стороны меньших значений, то такой предел называется пределом ф-ции слева и наоборот-справа.

Такие пределы называются односторонними.

В формулировке понятия предела мы предполагали, что и

предел аргумента и предел ф-ции конечен, однако, они могут быть и бесконечными.

Различные случаи:

11.Непрерывность и разрывы функции.

Пусть функция определена на некотором интервале , для которого  -- внутренняя точка. Функция называется непрерывной в точке , если существует предел при и этот предел равен значению , то есть

Пусть функция определена на некотором полуинтервале , для которого  -- левый конец. Функция называется непрерывной справа в точке , если существует предел при и этот предел равен значению , то есть

Пусть, наконец, функция определена на некотором полуинтервале , для которого  -- правый конец. Функция называется непрерывной слева в точке , если существует предел при и этот предел равен значению , то есть

Точка называется точкой разрыва функции , если она определена в некоторой проколотой окрестности точки (то есть определена на некотором интервале, для которого служит внутренней точкой, но в самой точке , возможно, не определена) и выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1) не существует предела слева ; 2) не существует предела справа ;

12.Первый замечательный предел.

Предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к 0.

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что: (1) (где S_sectOKA — площадь сектора OKA)

(из : | LA | = tgx) Подставляя в (1), получим:

Так как при : ; Умножаем на sinx:

Перейдём к пределу: ; ;

Найдём левый односторонний предел:

13.Второй замечательный предел.

Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, т.е. докажем, что . Рассмотрим два случая:

1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где n = [x] - это целая часть x.

Отсюда следует: , поэтому

.

Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:

.

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .

2. Пусть . Сделаем подстановку − x = t, тогда

.

Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.

Глава 3. Дифференциальное исчисление.

1. Производная, ее геометрический и физический смысл.

Понятие производной возникли при исследовании изменения функции с изменением аргумента.

Пусть аргумент х получат приращенные ▲х, тогда у=f(х) получит приращение ▲у=f(х+▲х) - f(х).

▲- приращение.

Средняя скорость изменения функции на промежутке от х до ▲х будет равна приращению

функции к приращению аргумента.

^▲у \_▲х=^{f(х+▲х) - f(х)}\ _▲х (1) - υ_ср

Для того того, чтобы определить υ изменения функции в точке х, нужно безгранично уменьшить ▲х, т.е. ▲х→0 .

Тогда значение функции (у) будет стремится

f(х+▲х) →f(х), ▲у→0.

▲х→0

Получаем предел: lim —

▲х→0

Это отношение и дает выражение для производной функции, т.е.

▲у f(х+▲х) - f(х)

у’=lim — = lim ——————— (1)

▲х→0 ▲х ▲х→0 ▲х

Определение 1: Если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к 0, то этот предел называется производной функцией у= f(х) по аргументу х в точке х.

Для производной существует несколько обозначений:

dy df(х)

у’= f ’(х) = — = ——;

dх dх

Определение 2: Операция нахождения производной функции у= f(х) называется дифференцированием функции.

Определение 3: Если функция у= f(х) имеет конечную производную в точке х, то функция наз. дифференцируемой в точке, если даже эта функция имеет конечную производную в каждой точке некоторого промежутка, то она наз. дифференцируемой в промежутке.

Геометрический смысл производной:

Рассмотрим прямоугольник ▲АСВ, АС и СВ- катеты, причем катет АС=▲х, CB=▲у.

Угол САВ= φ (фи), тогда отношение

Угол φ - это угол между направлением секущей АВ и положительным направлением оси ох.

Пусть ▲х→0, тогда ▲у→0, т.е. точка В будет перемещаться по графику функции по направлению к точке А. При этом направление секущей тоже будет меняться, а значит будет меняться направление угла φ. Тогда когда точка В сольётся с точкой А, секущая превратиться в касательную к графику функции к этой точке. Тогда угол φ, т.е. углу между направлением касательной к графику функции и положительным направлением оси ох.

Таким образом, смысл понятия производной функции состоит в том, что производная в точке х численно равна tg угла наклона касательной к графику функции в этой точке по отношению к положительному направлению оси ох.

Рассмотрим теперь физический смысл производной:

Пусть материальная точка движется прямолинейно и за время ▲t проходит путь ▲S, тогда предел отношения при ▲t→0 будет равен скорости

материальной точки, т.е. (υ–это предел)

Т.е. скорость - это производная пути по времени. Скорость изменения скорости – это ускорение, т.е. (ускорение α- это производная скорости по времени)