16. Отображение.

Бинарное отношение f между элементами множеств E и F называется отображением множества E во множество F (они могут совпадать), если область задания этого бинарного отношения όf совпадает по всем множествам Е. (f:EF)

Отображением f множества У во множество А называется правило по которому каждому элементу множества E сопоставляется 1 или несколько элементов множества F.

Если элемент х, принадлежащий множеству Е, допоставляется совокупности элементов f(x) называется полным образом элемента х, а каждый элемент этой совокупности называется просто образом элемента х.

Если при отображении f множества E во множество F с элементом “y” (yЄF) сопоставляется совокупность элементов F^-1(y) ЄE, то эта совокупность называется полным прообразом элемента y, а каждый элемент этой совокупности называется прообразом элемента “y”.

Если отображение f:EF (f такое, что множество Е отображается во множестве F) является таким, что каждый элемент “x” (x принадлежит E), принадлежащий 1му множеству сопоставляется с одним и только одним элементом ‘y’ из множества F (y принадлежит F), то отображение f называется однозначным, а в противном случае многозначным.

f:VxЄEyЄF

Если f – однозначное отображение множества Е во множество F, то бинарное отношение f^-1 называется обратным по отношению к f.

Ϭf^-1=F, то f^-1 – обратное отображение.

17. Частные случаи отображений

О тображение f:AB называется сюръективным или сюръекцией или отображением множества множества А на множество В, усли pf=B.,

О тображение f:AB называется инъективным если множеству элементов а из множества А (а принадлежит А) соответствуют различные элементы в из множества В (в принадлежит В)

Однозначное отображение f:AB называется биективным или биекцией или взаимно однозначным, если оно одновременно является инъективным и сюръективным.

Существует обратная отображение f^-1:BA являющееся тоже биективным, причём Ϭf^-1, а pf^-1=A.

В этом случае стрелки в обратном напрелении.

18. Композиция отображений, тождественное отображение.

Если существуют однозначные отображения f1:VxЄAyЄB и f2:VyЄBzЄC причём отображение f^1 сюръективно тогда существует отображение f2*f1, такое, что каждому элементу xЄA соответствует zЄC, называемое композицией отображения f1 и f2.

f2*f1,:VxЄAzЄC

z = f2(f1(x))

Тождественным отображением idA в множестве A называется такое отображение f:AA, когда каждому элементу aЄA соответствует тот же самый элемент.

19.Функция, последовательность,функционал.

Функцией А–f–В, где А и В – множества произвольной природы, называется закон, по которому элементам из первого множества А ставятся в соответствие элементы из второго множества В. Закон обозначается знаком f. Функциона́л традиционно — функция, определённая на множестве функций со значениями обычно в вещественных числах.Примеры функционалов: норма функции ;значение функции в фиксированной точке ;максимум или минимум функции на отрезке ;величина интеграла от функции ;длина графика вещественной функции вещественной переменной ;длина кривой, параметрически заданной векторной функцией вещественного аргумента (длина пути);площадь поверхности, параметрически заданной векторной функцией двух вещественных аргументов

Если A,B,C – числовые множества то отображение f:AB называется функцией y=f(x), где xЄA, yЄB обратное отображение f^-1 называется обратной функцией. X=f^-1 (y), где xЄA, yЄB.

Композиция отображений y*f, где f:AB g:BC называется сложной функцией z=f(y(x))’ где xЄA, yЄB, zЄC. Отображение множества натуральных чисел {1,2…} в некоторое множество Аб состоящее из элементов a1, a2… an называется последовательностью этих элементов причём, если множество А – числовое, то эта последовательность называется числовой.

Если А – множество функций, a множество B – числовое множество то отображение f:AB называется функционалом.