5.Предел переменной величины.

Предел переменной величины х называется такое постоянное число а, что разность (х-а) есть величина бесконечно малая, т.е. (х-а) бесконечно мала.

Пределом переменной величины х называется такое постоянное число а, что выполняется условие при любом сколь угодно малом, наперед заданном положительном а называется такое знач. переменной велич. х=х нулевого.

Г еометрический смысл предела переменной х заключается в том, что переменная величина х в ходе своего изменения остаётся в E окрестности точки а. Св-ва пределов:

1.Предел постоянной величины-есть постоянная величина.

2.переменная величина не может иметь несколько пределов, т.е. она имеет один предел или не имеет совсем. (нарушение условия сущ.предела, переменная величина нигде не остаётся)

3.Переменная величина, имеющая предел=0-есть бесконечно малая и наоборот, предел=0, это следует из того, что а=0.

4.Если переменная величина х и y имеют пределы a и b соответственно и x<y ; x≤y,то a≤b

5.

6.

6.Основные теоремы о пределах

Т.Если слагаемые в алгебраической сумме имеют пределы, то и алгебраическая сумма имеет предел равный алгебраической сумме пределов слагаемых.

Т. Если сомножители в произведении имеют пределы, то и произведение имеет предел, равный произведению пределов сомножителей.

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Т. Если делимое и делитель имеют пределы, причём предел делителя не равен нулю, то частное тоже имеет предел, равный частному пределов делимого и делителя.

7.Бесконечно большая величина.

Бесконечно большая величина — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака. Бесконечно большая величина не имеет конечного предела.

Последовательность a_n называется бесконечно большой, если ;

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x₀, если ;

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо .

Т.Если переменная величина х-бесконечно большая, то обратная величина y=1/х есть б.м. и наоброт.

8. Монотонная переменная. Теорема Вейерштрасса.

Переменная величина которая в ходе своего изменения либо не убывает либо не возрастает называется монотонной. Причем, если она не убывает то это монотонно возрастающая величина, а если она не возрастает, то это монотонная убыв величина. Теорема Вейершатрасса.: Ограниченная монотонная переменная величена имеет конечный предел,а неограниченная монотонная перемееная величина имеет бесконечный предел.

1. Монотонно возраст величина х ограниченна,те |х|<M

2. Монотонна убыв величина х ограничена,те |х|<M

3. Монотонно возраствеличина не ограничена. В ходе своего изменения х становится положительной и может стать сколь угодно большой,те лимх = +бесконечность

4. Монотонно убыв величина х не ограничена. В ходе своего изменения х становится отрицательной а !х! может стать сколь угодно большой.те лимх= -бесконечность

9.Предел функции и ее геометрический смысл.

Геометрический смысл предела функции:

Если для любой ε-окрестности точки А найдется такая δ-окрестность точки х_о, что для всех х¹хо из етой  δ-окрестность соответствующие значения функции ƒ(х) лежат в ε-окрестности точки А. Иными словами, точки графика функции у=ƒ(х) лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А+ ε , у=А-ε (см. рис. 110). Очевидно, что величина δ зависит от выбора ε, поэтому пишут δ=δ(ε).

Предел функции- Функция f(x) имеет предел A в точке x₀, если для всех значений x, достаточно близких к x₀, значение f(x) близко к A.

Определение Коши в терминах «ε−δ»

Число A называется пределом функции в точке x₀, если для любого положительного числа найдется положительное число такое, что для всех x из выколотой δ-окрестности точки x₀ выполняется неравенство