3. Логическое символы в математике (пропорц. Связки- импликация,достаточность, эквивалентость, отрицание).

Сложные высказывания объединяются с помощью логических операторов( пропозиционные связки, кванторы). При этом используются скобки, определяющие порядок высказывания.

1.Пропозиционные связки- это операция математической логики сходная с используемыми в обычной речи союзами «или», «и», «если», «то», «тогда», «когда», а также с отрицанием.

2. Импликация- логическая операция, связывающая 2 высказывания с помощью логической связи, которой в обычной роли соответствует союз «если»… «то». Импликация обозначается следующим образом:

Эта запись читается так: «из высказывания А следует высказывание В».

Импликация, изучаемая в матем. логике отличается от условного суждения в традиционной формальной логики. Истинность или ложность импликации зависят только от истинности или ложности антецедента и консеквента. В математике символы импликации часто используются в смысле символа необходимости и символа достаточности.

Значки: «->», «<-», «=>», «<=».

3. Эквивалентность- оба высказывания равносильны. Символы:

Таким образом, то, что высказывание А и В равносильны записывается :

4.Отрицание- логическая операция, заключ. в том, что истинному высказыв. противостоит ложное, а ложному высказыванию- истинное.

Высказывание, получившиеся в рез-те отрицания, обознач. с помощью операторов:

Символы: знаком ¬ перед или чертой над суждением или перечеркиванием. ⌐А-высказывание А ложно, х¢А- объект х не является элементом совокупности А.

+ Примеру с перечёркиванием знаков эквивалентности, необходимости/достаточности, конъюнкции, дизъюнкции.

4.Логические символы в математике ( кванторы, скобки).

1.Кванторы- логические символы, характеризующие область истинности высказываний, в частности это утверждение 2ух типов: общности и существования. Кванторы общности: ,кванторы существования: .

Квантор общности - - используется для высказываний вида хР(х).

«Любой или каждый элемент х обладает свойством Р».

Квантор существования - - используется для построения утверждений вида хР(х).

«Существует (найдется) такой элемент х, который обладает свойством Р».

!хР(х)

«Существует (и при том единственный) элемент х, обладающий свойством Р».

Отрицание кванторов

┐ хР(х) <=> х ┐Р(х).

«То что утверждение, что любой элемент х обладает свойством Р, является ложным эквивалентно тому, что найдется такой элемент х, который не обладает свойством Р».

┐ хР(х) <=> х ┐Р(х)

«То, что утверждение о том, что найдется такой элемент х, который обладает свойством Р, является ложным эквивалентно тому, что любой элемент х не обладает свойством Р».

2. Скобки- логические символы, определяющие порядок высказывания а(в+с). Если сложное высказывание является истинным, то получается чрезмерное обилие скобок, т.е. запись будет сложной. Чтобы упростить запись некоторые скобки писать не надо. Для этого договаривается о приоритетах логических операторов. Например, умножение приоритетнее, чем сложение. Кроме перечисления признаков используется символ наличия признака «:». В определение конкретных множеств этот символ пишется в виде «/».

В математической логике устанавливается следующий порядок приоритетов в символах: символ ┐ и кванторы общности и существования связывают высказывание сильнее, чем символ конъюнкции &, который в свою очередь, сильнее символов дизъюнкции V и , а эти символы сильнее символов импликации =>,<=, которая сильнее символа эквивалентности <=>.