10.Плоский изгиб

Определение внутренних сил упругости. Деформация плоского изгиба возникает когда плоскость действия нагрузки лежит в глав.плоскости инерции плоского сечения.

нагрузка либо по х либо по у

под действию силы балка изгибается или деформируется. изгиб происходит в плоск. действия внешней нагрузки. В результате деформации возникают внутренние силы. Для определ. этих сил возникает попереч .сечен. балки.

При деформации балки было установл, что продольные волокна располож. выше z испытывают деформ, сжатие, ниже оси z растяжение. (только для этого рисунка) Деформ. растяж. или сжат. хар-ся нормальным напряжен. выше z площадке, ниже z от площадки. расстояние между напряжениями y.

Элементарная пара сил. изгиб. пара сил. лежит в плоскости перпендикул. к сечению.

т.о. при плоском изгибе в попереч. сечении балки будет действ. 2 силовых фактора поперечная сила и изгиб.момент.

Расчет с опорной балки.

После орпедел. реакции определим внутренн.силы упругости. использ. метод сечен.

рассмотрим равнов. л.ч.балки.:

Iл.ч. будет наход. в равновес.если попереч. сила изгиб.момента полностью уравновесят F1 и реакцию Va. Полагаем что л.ч. находит. в равновесии определ. попереч. силу и изгиб.момент. ∑yi=0 Va-F1-Q=0 Q=+Va-F1 т.о. поперечные силы =алгебраичекой сумме сил действ.по 1 сторону от рассматриваем. сечения. Для получения изгиб.момента записываем ур-ние моментов места рассечен.балки ∑M=0 -VaZ+F(Z-a)+M=0 M=V1Z-F1(z-a)

т.о. изгиб.момент численно равен алгебраич. сумме моментов внешних сил по 1 сторону от рассматриваем. оси

II п.ч.балки находится в равновесии внутрен. силы в пр.части должны быть такими же как и в л.ч. по направлению в противоп. сторон. а,М

Для того чтобы внутренние силы в пр и л.ч полностью совпадали необходимо при их определ. использов. противоп. правила знаков для л и пр. частях балки. Для поперечной силы если выполняется условие 1 левой 2 правой. попереч. силы + и –

Оредел. внутренние силы в различных сечениях внутри балки строят эпюру внутренних сил, которая показывает характ. распредел. Эпюра позволяет определить сечение в котором сгибающий момент максимален.

11.Нормальное напряжение плоскости.

Рассмотрим частный случай плоского изгиба, когда балка или часть ее длины действ. только изгиб.моменты а попереч.силы=0, так возможно при загруж.балки одинаков.сосредоточ.силами.

Если силы F равны получаем участок балки в пределах которого сила=0, а изгиб.момент –const

Участок балки в котор. попереч.сила отсутствует, а действ только изгиб момент находится в сост.чистого изгиба.

допущения: 1) полагаем что поперечное сечение балки плоское и перпенд-р в продольной оси до деформ.остается плоским и перпенд к изогнутой оси балки после после деформации (Бернули) 2) при деформ. балки ее продольн.волокна не давят друг на друга тоесть деформ этих волокон прямо пропорционально напряжен. (Гук) 3) Нормальное напряжен. измен. по высоте сечен. и не измен.по ширине.

Слой продольных волокон расположен.ниже z растягивается, выше укорачивается. Установлено что слой волокн совпадает с продольн. осью балки изгиб. не измен.своей длинны, поэтому этот слой-нейтральн.слой.

Проходит что центр тяжести сечен. и не всегда на половине высоты балки.

Поперечное сечен. при деформ. балки поварачив. вокруг своей оси, перпенд нейтр. слою. Нейтр оси. согласно (1) допущен.сечение балки остается плоским, то растоян.между ними меняется.

Вырежем из балки 2 бесконечно близко располож.сечения

Обозначим длину волокна совпад.с нейтраль.слоем l. Длинна не меняется в процессе деформ. Ввиду малости деформ l=pdl MN- произвольное волокно. l1=(p+y)dl (относит.деформ.произволього волокна определ.по ф-ле)

согласно (2)допущен. деформ продольных волокнбалки подчин.закону Гука, то запишем

уравн(а) не позвол.определ. величину нормального напряжен.в сечен.т.к. неизвест. радиус кривизны нейтральн.слоя однако уравн.устанавл. характ. распредел.нормальн.напряжений по сечению балки, если y=0, то из (а) нормальн. напряж =0. Если y=+-n/2, то нормаль напряжен.max. Возникает на верхних и нижних границах балки. Согласно (3) допущ. нормальн.напряж.не измен. по ширине сечен. По высоте сечен. нормальные напряжен.распредел по нормальной линии

Эпюра нормальн. линии.

Выделим в сечении элемент. площадку dA по ней действ. нормальное напряжен. элементарн.внутр.сила упругости нормальна к сечению продольная сила

Заменим напряжен.уравнен а.

статическ. момент относительно оси Х

Ось Х проходит через центр тяжести сечен (центр ось) Стат.момент относит. любой оси =0 Sx=0, следоват. N=0.

Элемент. равнод. пары сил.

Найдем выражение кривизны нейтр.слоя. ЕУх-жесткость попереч.сечен.при плоском изгибе (б) подставим в (а)

М- изгиб.момент определ.по эпюре изгиб.моментов. Yx- момент инерции плоского сечения. y- расстояние от нейтр.оси до точки попереч. сечен.который определ.нормальн. напряж. Наиб. величина норма. напряжения ( )настигается при у=max

Осевой момент сопротивл.

Расчет любой балки производится для определ. ее плоскост.либо определ. разделов попереч. сечения балки.

из условия (3) проверим прочн. рассчитываем. балки.

1)

2) определ. размеров поперечн. сечен. балки (проектир. расчет)

Осевой моменты сопротивл для наиболее часто встреч. сечений.

1) Прямоугльное сечение

2) Круглое сечение

3) трубчатое сечение