19. Вывод формулы Эйвера
Из теории плоского изгиба известно приближённое дифференциальное уравнение:
–
минимальная
жёсткость
Потеря
устойчивости происходит в плоскости
наименьшей жёсткости.
Знак минус берём потому, что стержень изгибается выпуклостью вниз, а перемещение происходит в отрицательном направлении оси Y.
A и В – постоянные интегрирования, которые определяются из граничных условий.
граничные условия:
стержень
изгибается по синусоиде
n
– число полуволн
Таким образом получается бесчисленное множество значений критических сил, соответствующих разным формам искривления стержня. С практической точки зрения интерес представляет лишь наименьшее значение критической силы, при которой происходит потеря устойчивости:
а) n=0 не даёт решения задачи
б)
n=1:
– наименьшее значение критической силы
– формула Эйлера для нахождения критической силы, соответствующей изгибу стержня по синусоиде с одной полуволной.
влияние условий закрепления стоек на величину критической силы
Формула получена для стержня, который имеет шарнирное закрепление концов. Этот способ принято считать основным способом закрепления. При других способах закрепления концов стержня можно получить формулу для определения критической силы путём сопоставления формы изогнутой оси данного конца стержня с формой, которая получается у стержня с шарнирным закреплением. Общий вид:
μ – коэффициент приведения длины стержня (зависит от способа закрепления)
μl =l0 – приведённая длина стержня
Основные способы закрепления:
Определение критических напряжений
Нормальное
напряжение в поперечном сечении сжатого
стержня, соответствующее критическому
значению сжимающей силы:
Чтобы можно было пользоваться формулой Эйлера, необходимо выполнить несколько условий:
т.к. при выводе формулы Эйлера пользуемся дифференциальным уравнением изогнутой оси, вывод которого основан на законе Гука.
Формула Эйлера справедлива только для стоек большой гибкости.
20. Пределы применимости ф. Эйвера и ф. Ясинского
матер. стерж. раб.только в предел.упругих деформаций. Возник. при этом напряжения –критические
Площадь поперечн. сечен. определ.без учета монтажн. ...площадь бруска (А) Представ. выражен.критич. силы
тогда выраж.напряжен. гибкость стойки
м-коэффициент приведен.длинны стойки зависящ.от способа закреплен.ее концов.
l- первоначальная длинна стойки до деформ.
мl –длинна полуволны синусоиды. imin- мин.радиус инерции. Берется т.к. потеря устойчив. стойки происход.всегда в плоскости с намине.жесткостью.
попереч.сечен.поварач.вокруг оси момент инерц.(радиус инерц.относит.которой min)
Оконч.выражен.критич.напряжен.будет:
Это напряжен. не должно привыш. пределпропорциональн.материала стойки.
предельные занч.напряжен.
предельн.знач.гибкости стойки.
формула примен.когда расчетная гибкость стойки оказывается >=предельн.гибкости.
условие примен.
при расчет. достаточно коротких стержн. имеющих относит.большие размеры попереч. сечен. расчетная гибкасть может оказат.< . В этом случае ф.Эйлера не примен. к расчету стойки. Ведут по различн. эмиприческ.зависимостям.
часто примен. зависим. Ясинского
а,в – эмпирич.коэффициенты, определ.по материалу стойки из справочников. Для ст.3 а=310 мПа в=1,94 мПа.
предельн. гибкость =100
Fcч=σсч.A A- площ.попереч.сечен. стойки
ф.Ясинского примен. тоже не во всех случаях. При использов. коротк.массивных стерж. критич.напряж. по ф.Ясин. может привысить предел прочн.материала. В этом случ.за величину напряж.приним.предел прочн. т.о. рассмотрели 3 способа орпедел. критич напряжен. при расчете стойки на устойчив.
График зависим. напряжен. от гибкости стойки.
В пред. Iого участка работают стержни большой гибкости критич. напряж. по ф. Эйлера
II – стерж.средней гибкости крит.напряж. σсч. график-прям.Ясин.
III – стрержни малой гибкости.