6.Статический момент плоского сечения.

Стат. момент-взятое по всей площади поперечного сечения сумма произведения площадей элементарн. площадок на расстояние до противоположной оси

Используя теорему стат.момент можно определить как сумму произведений

А-полная площадь сечения, хс,ус- координата центра тяжести этого сечения. n- число простых фигур

Если центр тяжести сечения известен, то можно записать следующее выражения:

Xc=Sy/A Yc=Sx/A

Сечения сложной конфигурации разбивается на простые геометрические фигуры центр тяжести и площади легко определ. Для определ.центра тяж.

Оси проходят через центр тяжести сечения называются центральными осями инерции. Стат. момент оносит.любой центр.оси =0 Если плоское сечение разбивается на простые плоские фигуры, то стат момент этого сечения = сумме стат мом-ов элемент.сечений. Упрощаем определ. стат момента оказывается, что он =произвед.площади элемент. фигуры образ.сечения * на расстояние от центра тяж. до центра оси.

Осевой момент инерции –взятая по всей площад. сечения, сумма произвед. площадей элемент.площадок на квадр. расстоян. до соответств. оси.

Момент инерции(У) ед.длинны длин. мм4,см4.

При расчете сферических поверхностей вводится понятие полярный момент инерции-взятый по всей площад.попереч. сечения произвед.элемент.площад.на кв.радиуса вектора.

т.о.понятие момента инерции=сумме осевых моментов инерции. При расчете используется центробеж.момент инерции это взято по всей площади сумма произвед. Sэлем. площадок на растоян.до 2х взаимно перпенд. осей. Может быть + и –

Если фигура или сечение имеет хотябы 1 ось семетрии, то центробеж. момент инерции =0. Любое сечение можно разделить на простые геометр. фигуры и центры тяж. ипложад.легко определ, седоват. моменты инерции фигур также определимы.

Используют фигуры:

прямоугольник

A=bh (полная площ.сечен)

Yx=(bh3)/12 (осевой мом.инерц)

Yy=(hb3)/12 (осев.мом.инерц.)

Yxy=0 (центроб.мом.инерц.)

круг

A=(пD2)/4=пR2

Yx=(пD4)/64 ; Yy=(пD4)/64

Yxy=0

кольцо

α=Dв/Dн

A=(пDн2)/4-(пDв2)/4

Yx=Yy=пDн4/(64) * (1-α4)

Yxy=0

полукруг

A=пD2/8

Yx=0,393R4

Yy=0,111R4

треугольник

равнобедрен.

A=1/2 bh

Yx=bh3/36

Yy=hb3/36 (Yxyне=0)

обычный

A=1/2 bh

Yx=bh3 /48

Yy=hb3/36 (Yxyне=0)

Yxy=b2h2/36 (для обоих)

7.Главные оси и моменты инерции

Рассмотрим плоск.сечение не имеющее осей

Центр.тяж.известен. В сечен.выделить элемент.площади с координатами x,y. Оси являются центробеж. момент.инерции

Поворачивая оси против часов. стрелки можно найти такое положен. при котором центробеж. момент инерции =0. Такие оси-главные оси инерции, момент инерции- главный мом.инерц

тогда

Поскольку центробеж.мом.инерц. гл.осей=0, то получим формулу для определ полож.гл.осей инерц.

Положительное значение α отклад. от центр. оси х против часов. y-перпенд. Значит мом.инецрии удобно считать без использования триганометр. ф-й.

Если фигура именнт хотя бы 1 ось симметрии и прост. форму(круг,прямоуг.) то главные и центр. оси инерций совпадают. В ряде расчетов (на устойчивость на внецентров.приложена нагрузка) используется понятие радиуса инерции.

А-площадь сечения;Ух1,Ух2-гл.момент инерции.

Если главные и центр.оси совпадают, то подставл. осевые мом.инерции. Для рассматриваемого сечения сумма главн. и осев.моментов инерции всегда одинакова Yx+Yy=Yx1+Yy1