12. Производная. Физический и геометрический смысл

Произво́дная — функция, являющаяся результатом применения той или иной операции дифференцирования к исходной функции. Физический смысл производной — скорость изменения величины или процесса. Разновидности:

Производная функции

Производная (обобщения)

Частная производная

Производная по направлению

Произво́дное множество множества A — совокупность всех предельных точек этого множества.

Физический смысл производной.

Для неравномерного прямолинейного движения производная от пути по времени в момент t равна мгновенной скорости  в этот момент.

Геометрический смысл производной. Производная функции в точке х равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке:

Пусть теперь точка М графика функции у = f(x)обладает абсциссойх0 и ординатой у0 = f(х0).  Уравнение касательной МС (как прямой) в виде с угловым коэффициентом k = tgα = у´(х0)  есть  у = kх + b. Подставим в это уравнение координаты точки М:                                    у0 = kх0 + b. Исключим параметр b , вычтя из первого уравнения второе. Получим уравнение касательной, проведенной к графику функции у = f(х) в точке с координатами х0,у0 :

у – у0 = k(х – х0) , где k = f ´(х0)

13. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Из уже известных нам свойств пределов очевидно, что если функция у(x) имеет конечный предел  , то предел произведения этого соотношения на бесконечно малую  тем более конечен и, более того, равен нулю.

, а – это означает непрерывность функции. То есть если функция дифференцируема, то она непрерывна. То, что обратное неверно, видно из примера: Рассмотрим функцию

Предел слева существует, конечен и равен пределу справа, и значение функции в точке совпадает со значением предела. Следовательно функция непрерывна в нуле. 2. Выражение для производной функции у

. Имеет в точке x=0 левый предел (-1), а правый предел – (+1), а это означает, что предела она не имеет, то есть производной в точке х=0 не существует. Видим, что функция, непрерывна в точке х=0, производной в этой точке не имеет.

14. Правила дифференцирования. Производные некоторых элементарных функций ( , xⁿ , , ln x)

Правила дифференцирования

При дифференцировании константу можно выносить за производную:    Правило дифференцирования суммы функций:    Правило дифференцирования разности функций:    Правило дифференцирования произведения функций (правило Лейбница):    Правило дифференцирования частного функций:    Правило дифференцирования функции в степени другой функции:    Правило дифференцирования сложной функции:    Правило логарифма при дифференцировании функции: