8. Первый замечательный предел. Следствия.
Первым
замечательным пределом называется
предел
Пользуемся
теоремой. ( Если
функция 
имеет
оба односторонних предела при 
и
эти пределы равны одному и тому же
числу 
,
то существует двусторонний предел 
,
который также равен
;
ноаборот, если существует двусторонний
предел 
,
то существуют оба односторонних предела
и оба они равны числу
).
Следствия:
Следствия
9.Второй замечательный предел. Следствия.
или
Зная, что второй
замечательный предел верен для
натуральных значений x, докажем второй
замечательный предел для вещественных
x, то есть докажем, что 
.
Рассмотрим два случая:
1. Пусть 
.
Каждое значение x заключено между двумя
положительными целыми числами: 
,
где 
—
это целая часть x.
Отсюда следует: 
,
поэтому
.
Если
,
то 
.
Поэтому, согласно пределу 
,
имеем:
.
По признаку (о пределе
промежуточной функции) существования
пределов 
.
2. Пусть 
.
Сделаем подстановку − x = t,
тогда
.
Из двух этих случаев
вытекает, что
для
вещественного x. 
Следствия
для 
, 
10.Непрерывность функции. Односторонние пределы.
Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения отображения. График непрерывной функции можно начертить «не отрывая карандаш от бумаги».
Непрерывная функция вообще говоря, — синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее, чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающих вещественные значения.
Пусть
на некотором числовом множестве 
задана числовая
функция 
и
число 
— предельная
точка области
определения 
.
Существуют различные определения для
односторонних пределов функции 
в
точке
,
но все они эквивалентны.
Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (или преде́лом спра́ва).
Основные свойства односторонних пределов идентичны свойствам обычных пределов и являются частными случаями свойств пределов вдоль фильтра.
Для существования (двустороннего) предела функции необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела существовали и равнялись между собой.
11. Классификация точек разрыва.
Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке.
Классификация точек разрыва функции
Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке
Существуют левосторонний предел
и
правосторонний предел 
;Эти односторонние пределы конечны.
При этом возможно следующие два случая:
Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:
Такая точка называется точкой устранимого разрыва.
Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:
Такая
точка называется точкой
конечного разрыва.
Модуль разности значений односторонних
пределов
называется скачком
функции.
Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.