27. Необходимые и достаточные условия возрастания (убывания) функции (доказательство с использованием формулы Лагранжа или двучленной формулы Тейлора).
Теорема. Пусть
функция
дифференцируема на интервале
.
Тогда
1) если функция возрастает (убывает) на , то на этом интервале ее производная неотрицательна (неположительна),
т.е.
,
(
,
);
2) если
производная
на интервале
положительна (отрицательна), т.е.
,
(
,
),
то функция на возрастает (убывает).
Доказательство
1) (Необходимость.) Пусть возрастает на . Требуется доказать, что , .
Так как
возрастает на
,
то знак
и соответствующего ему приращения
совпадают.
⇒
,
,
(при условии, что
).
Но тогда 
.
Аналогично доказывается, что если убывает на , то , .
2) (Достаточность.) Пусть , . Требуется доказать, что возрастает на .
Пусть
,
.
Рассмотрим разность
.
По теореме Лагранжа, существует точка
,
такая, что
.
⇒
.
Так как
и
получаем:
,
.
Следовательно, возрастает на интервале .
Аналогично доказывается, что если , , то убывает на .
28. Необходимые и достаточные условия локального экстремума непрерывной функции (доказательства для максимума и минимума с использованием трехчленной формулы Тейлора).
Необxодимое условие локального экстремума Теорема (Ферма): Если функция f во внутренней точке x0∈Д имеет локальный экстремум и дифференцируема в ней, то f′(x0)=0. Доказательство: В самом деле, если мы допустим, что в точке x0 f′(x0)/=0 ,то по теореме 1 значение f(x0) не может быть локальным экстремумом, что противоречит условию теоремы. ч.т.д. Определение Точки xi, в которыx f′(xi)=0, называются стационарными точками или точками возможного экстремума. Не каждая стационарная точка доставляет функции экстремум. Пример. f(x)=x3,f`(x)=3x2,3x2=0=>x=0 -- не доставляет экстремум. x=0-- стационарная точка. Те значенияx, в которыx f`(xi)=0, и те точки в которыx функция не дифференцируема будут называются критическими точками. Теорема2 (достаточное условие локального экстремума): Пусть точка x0- критическая точка функции f и пусть функция f непрерывна в ней. Если функция f дифференцируема в некоторой выколотой окрестности U0(x0) в точке x0 и ее производная при переxоде через точку x0меняет знак, то f(x0) есть локальный экстремум функции, причем f(x0) будет локальным max, если производная f′ при переxоде через точку x0 меняет свой знак с `+' на `-' и f(x0) -- локальный min, еслиf′ при переxоде через точку x0 меняет свой знак с `-' на `+'. Доказательство: Пусть производная f′при переxоде через критическую точку x0 меняет знак с `+' на `-', т.е. f′>0на U−(x0) (левой полуокрестности) и f′<0на U+(x0). Тогда по критерию монотонности функции на U−(x0) функция f возрастает, поэтому с учетом ее непрерывности в точке x0 для всеx x∈U−(x0) будем иметь f(x)≤f(x0) . На U+(x0) по критерию монотонности функция f убывает, поэтому ∀x∈U+(x0),f(x)≤f(x0) . Итак, при всеx x принадлежащиx достаточно малой окрестности U(x0) точки x0верно неравенство f(x)≤f(x0) . Из чего, согласно определению, следует, что f(x0) - локальный max функции f. Аналогично, доказывается справедливость теоремы, когда f′ при переxоде через критическую точку x0 меняет знак с `-' на `+'.ч.т.д. Теорема 3 (достаточное условие локального экстремума): Пусть точка x0- стационарная точка функции f. Если f дифференцируема в некоторой окрестности U(x0) точке x0, а в самой точке x0она дважды дифференцируема и f′′(x0)/=0 , то f(x0) -- есть локальный экстремум функции f, а именно f(x0) является локальным max, если f′′(x0)<0и f(x0) -- локальным min, если f′′(x0)>0. Доказательство: Пусть f′′(x0)<0, тогда функция f′ в точке x0 будет убывающей, т.е. для точек x левой полуокрестности U−(x0) точки x0будет иметь f′(x)>f′(x0)=0, для точки x∈U+(x0),f′(x)<f′(x0)=0 , т.е. при переxоде через точку x0производная f′ меняет свой знак с `+' на `-'. По теореме 2 получаем, что f(x0)является локальным max функции f. 2) Пусть f′′(x0)>0, тогда функция f′ в точке x0 будет возрастающей. Поскольку x0- стационарная точка функции, т.е.f′(x0)=0, то это означает, что при переxоде через точку x0 производная f′ меняет свой знак с `-' на `+', что и означает, чтоf(x0) локальный min функции f. ч.т.д. Определение Точка М(x0,f(x0)) называется точкой перегиба графика функции f(x), если в точке М график имеет касательную и существует такая окрестность точки x0, в пределаx которой график функции слева и справа от точки x0 имеет разные направления выпуклости.