36. Теорема о среднем значении определенного интеграла от непрерывной функции. Доказательство.

Если f(x) - непрерывная функция, заданная на промежутке [a, b], то существует такая точка , что

     (1)

В самом деле, пусть M и m наибольшее и наименьшее значения f(x) на промежутке [a, b]. Составим для f(x) какую-нибудь интегральную сумму

Так как при всех k будет m ≤ f(ξ_k) ≤ M, а x_k+1 > x_k, то m(x_k+1 - x_k) ≤ M(x_k+1 - x_k). Складывая такие неравенства и замечая, что

получим:

m(b - a) ≤ σ ≤ M(b - a).

Переходя в этом неравенстве к пределу при λ → 0, приходим после деления на b - a к новому неравенству

     Таким образом, частное

есть число, лежащее между наибольшим и наименьшим значениями непрерывной функции. Как известно, тогда и само это число должно являться одним из значений той же функции. Поэтому в [a, b] обязательно существует такая точка ξ, что h = f(ξ), а это равносильно равенству (1).

Заметим, что равенство (1) справедливо не только при a < b, но и при a = b (тогда обе части этого равенства нули), а также и при a > b (этот случай приводится к рассмотренному изменением знаков). В первом из этих случаев будет ξ = a, а во втором a ≥ ξ ≥ b.

37. Определенный интеграл от непрерывной функции с переменным верхним пределом. Производная. Доказательство. Вывод формулы Ньютона-Лейбница.

Пусть функция f(x) интегрируема на [a,b]. Тогда, ∀x∈[a,b] каково бы ни было число x из [a,b], функция f(x) интегрируема и на сегменте [a,x]. Поэтому на интервале (a,b) определена функция F(x)=∫xaf(t)dt, которую называют интегралом с переменным верхним пределом.

Если f интегрируема на [a,b] и непрерывна в x0∈[a,b] , то F(x)=(∫xaf(t)dt)  дифференцируема вx0 и F′(x0)=f(x0) Было установлено существование производной от интеграла с переменным верхним пределом и доказано, что эта производная равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, то есть

F′(x)=ddx∫xaf(t)dt=f(x).

Доказательство.

Докажем что limΔx→0ΔxF(x0+Δx)−F(x0)=f(x0). Для этого оценим ΔxΔF(x0)−f(x0). Заметим, что 1Δx∫xo+Δxxodt=1 и =>f(x0)=1Δx∫xo+Δxxof(x0)dt, ∣ ∣  ΔxΔF(x0)−f(x0)∣ ∣  =∣Δx∫x0+Δxx0f(t)dt−f(x0)∣ ∣  =∣ ∣ ∣ ∣  1Δx∫xo+Δxxo(f(t)−f(x0))dt∣ ∣ ∣ ∣  ≤ 1Δx∣ ∣ ∣ ∣  ∫x0+Δxx0∣ ∣  f(t)−f(x0)∣ ∣  dt∣ ∣ ∣ ∣   (1) Пусть задано ε>0. В силу непрерывности f в точке х0 ∃δ(ε)>0 , что если ∣ ∣  x−x0∣ ∣  <δ , и x∈[a,b]⇒∣ ∣  f(x)−f(x0)∣ ∣  <ε  (2) Выберем Δx так что ∣Δx∣<δ , тогда для значений t на отрезке по которому ведется интегрирование, будем иметь ∣ ∣  t−x0∣ ∣  ≤∣Δx∣<δ⇒ из (1)и(2) получим ∣ ∣  ΔxΔF(x0)−f(x0)∣ ∣  ≤ 1∣ΔX∣·ε∣ ∣ ∣  ∫xoxodt∣ ∣ ∣  =ε. Последнее означает, что limΔx→0ΔxF(x0+Δx)−F(x0)=f(x0) Чтд

??? Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Вывод формул.

Замена переменной в определённом интеграле. Теорема. Пусть функция

1. определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке

,

2. ,

3. функция

непрерывна на отрезке [a, b].

Тогда .

Док-во. Пусть F(x) - первообразная для функции f(x), т.е. , тогда - первообразная для функции . , что и требовалось доказать.

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла. Если u(x), v(x) - непрерывно дифференцируемые функции, то . Док-во. Интегрируем равенство в пределах от a до b: . Функция в левом интеграле имеет первообразную uv, по формуле Ньютона-Лейбница , следовательно, , откуда и следует доказываемое равенство.

??? Несобственные интегралы. Классификация и способы вычисления.

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

• Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;

• Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [a, b].

Определение несобственного интеграла первого рода. Пусть функция f(x) определена на полуоси и интегрируема по любому отрезку [a,b], принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла при называется несобственным интегралом функции f(x) от a до и обозначается . Итак, по определению, . Если этот предел существует и конечен, интеграл называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся.

Определение несобственного интеграла второго рода. Интеграл вида: , где y=f(x) непрерывна (a;b], a - точка разрыва 2 рода. Называется несобственным интегралом 2 рода.

Если предел конечен, то несобственный интеграл 2 рода называется сходящимся.

Если предел равен бесконечности или не существует вовсе, то несобственный интеграл 2 рода называется расходящимся.

Если оба несобственных интеграла 2 рода справа сходятся, то несобственный интеграл слева называется сходящимся.

Если хотя бы один из интегралов справа расходится, то несобственный интеграл слева называется расходящимся.

Для несобственных интегралов применимы формулы интегрирования по частям и замены переменной: ; при замене переменной несобственный интеграл может преобразовываться в собственный.