23. Основное неравенство теории двойственности. Достаточный признак оптимальности. Первая теорема двойственности.

Основное неравенство теории двойственности: для любых допустимых решений пары взаимодвойственных задач X(x1, x2,…,xn), Y(y1,y2,…,ym) справедливо неравенство F(X)≤Z(Y)

Достаточный признак оптимальности:

если X*=(x*1,x*2,…,x*n) и Y*=(y*1,y*2,…,y*m) – допустимые решения задач, для которых выполняется условие F(X*)=Z(Y*), то X* и Y* - оптимальные решения двойственных задач!

Первая основная теорема двойственности:

если одна из взаимодвойственных задач имеет оптимальное решение, то другая задача также имеет оптимальное решение, причем для любых оптимальных решений X* и Y* выполняется равенство F(X*)=Z(Y*). Обратное утверждение тоже справедливо. Однако, если одна из двойственных задач не имеет решения вследствие ограниченности целевой функции F(X)→∞, то другая задача не будет иметь решения вследствие несовместности системы ограничений. Обратное утверждение не всегда верно, т.е. если задача имеет несовместную систему ограничений, то двойственная к ней может быть как неограниченной, так и ограниченной.

24. Экономический смысл первой теоремы двойственности.

Пусть рассматривается задача о планировании товарооборота, где Х^*=(х₁^*,х₂^*,…,х_n^*) - это оптимальный план товарооборота. Тогда Y^* = (y₁^*,y₂^*,…, y_m^*) – это набор объективно-обусловленных оценок ресурсов. Согласно 1й теореме двойственности Х^* и Y^* оказываются оптимальными тогда, когда выручка, полученная от реализации продукции по внешне сформированным ценам С₁, С₂, …, С_n равна затратам на ресурсы в соответствии с внутренними ценами, установленными самим предприятием. Таким образом, из 1й теоремы двойственности =>что предприятие имеет два равновыгодных вар-та:

1. Предусматривает реализацию продукции в соответствии с оптимальным планом Х* и получение максимально возможной выручки от этой реализации.

2. Предусматривает получение той же самой прибыли, но засчет реализации имеющихся у предприятия ресурсов по ценам Y*

Объективно-обусловленные оценки позволяют установить степень дефицитности ресурса и цену их реализации. Дефицитными оказ-ся те ресурсы, которые в соответствии с оптимальным планом используются полностью и имеют ненулевые оценки.

Недефицитные ресурсы имеют нулевую объективно-обусловленную оценку. Увеличение запаса недефицитных ресурсов не приводит к увеличению значения целевой функции.

25. Вторая теорема двойственности. Определение двойственных оценок с помощью второй теоремы двойственности.

Для оптимальности допустимых решений X* и Y* пары взаимодвойственных задач необходимо и достаточно, чтобы они удовлетворяли системе уравнений:

x_j^* ( )= 0

y_i^* ( )=0

При использовании 2й теоремы двойственности необходимо помнить соответствие между основными и дополнительными переменными прямой и двойственной задачи. Основным переменным прямой задачи соответствуют дополнительные переменные двойственной задачи и наоборот. Эти соответствия в таблице:

Прямая ЗЛП

Основные переменные	Дополнительные переменные
х1,х2,…, хn	xn+1, xn+2, …,xn+m
ym+1, ym+2, …,ym+n	y1, y2, …, ym
Дополнительные переменные	Основные переменные

Двойственная ЗЛП

Данной таблицей соответствия можно пользоваться для нахождения оптимального решения двойственной задачи из решения прямой задачи.

Оптимальные значения переменных двойственной задачи содержатся в индексной строке оптимального плана прямой задачи. Достаточно только подписать переменные из таблицы соответствия.