Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
I Линейное программирование.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
24.04.2019
Размер:
506.37 Кб
Скачать

13. Анализ оптимального плана симплексного метода на примере задачи планирования товарооборота.

Оптимальное решение выписывают из столбца ЗБП последнего оптимального плана симплексной таблицы. Если какая либо переменная в этом столбце отсутствует, то в оптимальном плане она равна 0.

Значение целевой функции также берется из столбца ЗБП последнего оптимального плана. Оптимальный вектор переменных обозначаем X*, а оптимальное значение целевой функции F max(X*) При решении задачи планирования товарооборота( задача о распределе6нии ресурсов), основные переменные указывают на количество реализуемой продукции каждого вида, для получения max дохода. А дополнительные переменные указывают на количество недоиспользованных ресурсов каждого вида. Если какая нибудь дополнительная переменная равна 0, то соответствующий ей ресурс использован полностью и является дефицитным. Положительное значение дополнительной переменной говорит о имеющихся излишках ресурсов.

Нулевое значение какой-либо основной переменной говорит о том, что соответствующий товар невыгоден, его реализация нерентабельна.

Вывод о количестве оптимальных решений можно сделать по индексной строке оптимального плана. Если в индексной строке 0 соответствуют только столбцам базисных переменных, то полученное оптимальное решение единственно. Если 0 соответствует небазисной переменной, то задача будет иметь альтернативный оптимум.

Альтернативный оптимум можно найти, если принять за ведущий столбец, столбец с небазисным 0. При этом среди элементов данного столбца должен быть один положительный.

Если известны два оптимальных решения, то в задачи с альтернативным оптимумом можно записать бесконечное множество оптимальных решений, но все они будут линейными комбинациями найденных оптимальных решений.

Xопт =t *X*+ (1-t)X**

X*- первое оптимальное решение

X**- второе оптимальное решение

0 t 1

Если в ходе решения в ведущем столбце все коэффициенты aij оказались <=0, то целевая функция F(X)- неограниченна на множестве допустимых решений. А значит, оптимального решения задача не имеет.

Если в ходе последнем столбце симплексной таблицы оказалось сразу несколько одинаковых наименьших элементов, то опорный план считается вырожденным, а дальнейшие решения может привести к зацикливанию. Для определения ведущей строки в данном случае применяется метод Креко: рассматривают все строки претендующие на ведущую, в каждой из них находят предполагаемый разрешающий элемент. Элементы каждой строки делят на свой разрешающий элемент, а результаты записывают в дополнительные строки симплексной таблицы.

Дополнительные строки сравнивают между собой двигаясь слева на право по столбцам, сравнение проводят до тех пор пока не встретится наименьший элемент. Он и определит ведущую строку в рассматриваемом плане.

  1. Метод искусственного базиса на примере системы ограничений, содержащей уравнения.

Заметим что классический симплексный метод основывается на задаче с системой ограничений вида <=, на первом шаге такой задачи ее условий приводятся к канонической форме. Тем самым образуется базис для построения начального решения.

Если задача сразу представлена в канонической форме, то в ней как правило отсутствуют переменные выполняющие роль базисных. Введение же дополнительных переменных нарушит каноническую форму и не позволит реализовать алгоритм симплексного метода. В этом случае прибегают к методу искусственного базиса.

F(X)=c1x1+c2x2+…..+cnxn extr

A11x1+a12x2+….+a1nxn=b1

A21x1+a22x2+….+a2nxn=b2

…………………………

Am1x1+am2x2+….+amnxn=bm

xj 0; j=1,n

введем m- искусственных переменных yi=0;i=1,m. каждая искусственная переменная вводится только в одно уравнение системы, и так как они заведомо равны 0, то знак равенства не изменяется

A11x1+a12x2+….+a1nxn+y1=b1

A21x1+a22x2+….+a2nxn+y2=b2

…………………………

Am1x1+am2x2+….+amnxn+ym=bm

xj 0; j=1,n

y i0; i=1,m

Использование искусственных переменных в системе ограничений приводит к тому, что на целевую функцию накладывается так называемый штраф в виде бесконечно большой положительной величины, точное значение которой не задается, а используется обозначение М. При решении задачи на min целевая функция примет вид:

F(X)=c1x1+c2x2+…..+cnxn+My1+My2+….+Mym min

При решении задачи на max целевая функция примет вид:

F(X)=c1x1+c2x2+…..+cnxn+My1+My2+….+Mym max

Дальнейшее решение будет протекать по следующим этапам:

  1. Необходимо выразить искусственные переменные через основные

  2. Полученные выражения подставить в целевую функцию

  3. Выполнить тождественное преобразование целевой функции ( раскрыт скобки, привести подобные)

  4. В результате целевая функция будет содержать только основные переменные, но коэффициенты при них будут содержать штрафы М

  5. Для преобразования целевой функции и преобразованной системы ограничений находим начальное опорное решение, обычным симплексным методом

Заметим, что в результате преобразования целевой функции появляется свободный член, а значит, первоначальное значение целевой функции будет отлично от 0.

  1. Дальнейшее решение продолжаем по алгоритму классического симплексного метода. На каждом шаге нужно стараться исключить искусственные переменные из базисных. В отличном от решении должны статься только основные переменные.

Причем их значение должны освободиться от штрафа М. Штрафы останутся только в индексной строке искусственных переменных.

  1. р Основные теоремы линейного программирования. Теоремы об оптимальном решении в ограниченной и неограниченной области.

Базисным(опорным) решением системы m линейных уравнений с n переменными называется решением в котором все (n-m) неосновных переменных равны нулю.

Ч исло базисных решений является конечным, так как оно равно числу групп основных переменных, не превосходящему

Теорема. Если задача ЛП имеет оптимальное решение, то линейная функция, принимает максимальное значение в одной из угловых точек многогранника решений. Если линейная функция принимает максимальное значение более чем в одной угловой точке, являющейся выпуклой линейной композицией этих точек.

Теорема. (Об оптимальном решении а ограниченной области).

Если область допустимых решений системы ограничена, то оптимальное решение существует и совпадает хотя бы с одним из опорных решений системы.

Данная теорема обобщает первые два из рассмотренных выше случаев, в каждом из которых область допустимых решений является ограниченным выпуклым многогранником. Теорема утверждает, что при таком виде области оптимальное решение существует всегда, при этом может существовать как одно, так и множество оптимальных решений.

Теорема. (Об оптимальном решении в неограниченной области). Если область допустимых решений не ограничена. То оптимальное решение совпадающее, по крайней мере, с одним из опорных решений, существует только, когда линейная функция ограничена сверху для задачи максимизации или снизу для задачи минимизации.

Данная теорема обобщает третий и четвертый из рассмотренных случаев, в которых область допустимых решений является незамкнутой, утверждая, что при таком виде области оптимальное решение существует не всегда, а только в тех случаях, когда линейная функция ограничена снизу для задачи минимизации и когда линейная функция ограничена сверху для задачи максимизации.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]