13. Анализ оптимального плана симплексного метода на примере задачи планирования товарооборота.

Оптимальное решение выписывают из столбца ЗБП последнего оптимального плана симплексной таблицы. Если какая либо переменная в этом столбце отсутствует, то в оптимальном плане она равна 0.

Значение целевой функции также берется из столбца ЗБП последнего оптимального плана. Оптимальный вектор переменных обозначаем X^*, а оптимальное значение целевой функции F _max(X^*) При решении задачи планирования товарооборота( задача о распределе6нии ресурсов), основные переменные указывают на количество реализуемой продукции каждого вида, для получения max дохода. А дополнительные переменные указывают на количество недоиспользованных ресурсов каждого вида. Если какая нибудь дополнительная переменная равна 0, то соответствующий ей ресурс использован полностью и является дефицитным. Положительное значение дополнительной переменной говорит о имеющихся излишках ресурсов.

Нулевое значение какой-либо основной переменной говорит о том, что соответствующий товар невыгоден, его реализация нерентабельна.

Вывод о количестве оптимальных решений можно сделать по индексной строке оптимального плана. Если в индексной строке 0 соответствуют только столбцам базисных переменных, то полученное оптимальное решение единственно. Если 0 соответствует небазисной переменной, то задача будет иметь альтернативный оптимум.

Альтернативный оптимум можно найти, если принять за ведущий столбец, столбец с небазисным 0. При этом среди элементов данного столбца должен быть один положительный.

Если известны два оптимальных решения, то в задачи с альтернативным оптимумом можно записать бесконечное множество оптимальных решений, но все они будут линейными комбинациями найденных оптимальных решений.

X_опт =t *X^*+ (1-t)X^**

X^*- первое оптимальное решение

X^**- второе оптимальное решение

0 t 1

Если в ходе решения в ведущем столбце все коэффициенты a_ij оказались <=0, то целевая функция F(X)- неограниченна на множестве допустимых решений. А значит, оптимального решения задача не имеет.

Если в ходе последнем столбце симплексной таблицы оказалось сразу несколько одинаковых наименьших элементов, то опорный план считается вырожденным, а дальнейшие решения может привести к зацикливанию. Для определения ведущей строки в данном случае применяется метод Креко: рассматривают все строки претендующие на ведущую, в каждой из них находят предполагаемый разрешающий элемент. Элементы каждой строки делят на свой разрешающий элемент, а результаты записывают в дополнительные строки симплексной таблицы.

Дополнительные строки сравнивают между собой двигаясь слева на право по столбцам, сравнение проводят до тех пор пока не встретится наименьший элемент. Он и определит ведущую строку в рассматриваемом плане.

14. Метод искусственного базиса на примере системы ограничений, содержащей уравнения.

Заметим что классический симплексный метод основывается на задаче с системой ограничений вида <=, на первом шаге такой задачи ее условий приводятся к канонической форме. Тем самым образуется базис для построения начального решения.

Если задача сразу представлена в канонической форме, то в ней как правило отсутствуют переменные выполняющие роль базисных. Введение же дополнительных переменных нарушит каноническую форму и не позволит реализовать алгоритм симплексного метода. В этом случае прибегают к методу искусственного базиса.

F(X)=c₁x₁+c₂x₂+…..+c_nx_n extr

A₁₁x₁+a₁₂x₂+….+a_1nx_n=b₁

A₂₁x₁+a₂₂x₂+….+a_2nx_n=b₂

…………………………

A_m1x₁+a_m2x₂+….+a_mnx_n=b_m

x_j 0; j=1,n

введем m- искусственных переменных y_i=0;i=1,m. каждая искусственная переменная вводится только в одно уравнение системы, и так как они заведомо равны 0, то знак равенства не изменяется

A₁₁x₁+a₁₂x₂+….+a_1nx_n+y₁=b₁

A₂₁x₁+a₂₂x₂+….+a_2nx_n+y₂=b₂

…………………………

A_m1x₁+a_m2x₂+….+a_mnx_n+y_m=b_m

x_j 0; j=1,n

y _i0; i=1,m

Использование искусственных переменных в системе ограничений приводит к тому, что на целевую функцию накладывается так называемый штраф в виде бесконечно большой положительной величины, точное значение которой не задается, а используется обозначение М. При решении задачи на min целевая функция примет вид:

F(X)=c₁x₁+c₂x₂+…..+c_nx_n+My₁+My₂+….+My_m min

При решении задачи на max целевая функция примет вид:

F(X)=c₁x₁+c₂x₂+…..+c_nx_n+My₁+My₂+….+My_m max

Дальнейшее решение будет протекать по следующим этапам:

1. Необходимо выразить искусственные переменные через основные

2. Полученные выражения подставить в целевую функцию

3. Выполнить тождественное преобразование целевой функции ( раскрыт скобки, привести подобные)

4. В результате целевая функция будет содержать только основные переменные, но коэффициенты при них будут содержать штрафы М

5. Для преобразования целевой функции и преобразованной системы ограничений находим начальное опорное решение, обычным симплексным методом

Заметим, что в результате преобразования целевой функции появляется свободный член, а значит, первоначальное значение целевой функции будет отлично от 0.

6. Дальнейшее решение продолжаем по алгоритму классического симплексного метода. На каждом шаге нужно стараться исключить искусственные переменные из базисных. В отличном от решении должны статься только основные переменные.

Причем их значение должны освободиться от штрафа М. Штрафы останутся только в индексной строке искусственных переменных.

16. р Основные теоремы линейного программирования. Теоремы об оптимальном решении в ограниченной и неограниченной области.

Базисным(опорным) решением системы m – линейных уравнений с n – переменными называется решением в котором все (n-m) неосновных переменных равны нулю.

Ч исло базисных решений является конечным, так как оно равно числу групп основных переменных, не превосходящему

Теорема. Если задача ЛП имеет оптимальное решение, то линейная функция, принимает максимальное значение в одной из угловых точек многогранника решений. Если линейная функция принимает максимальное значение более чем в одной угловой точке, являющейся выпуклой линейной композицией этих точек.

Теорема. (Об оптимальном решении а ограниченной области).

Если область допустимых решений системы ограничена, то оптимальное решение существует и совпадает хотя бы с одним из опорных решений системы.

Данная теорема обобщает первые два из рассмотренных выше случаев, в каждом из которых область допустимых решений является ограниченным выпуклым многогранником. Теорема утверждает, что при таком виде области оптимальное решение существует всегда, при этом может существовать как одно, так и множество оптимальных решений.

Теорема. (Об оптимальном решении в неограниченной области). Если область допустимых решений не ограничена. То оптимальное решение совпадающее, по крайней мере, с одним из опорных решений, существует только, когда линейная функция ограничена сверху для задачи максимизации или снизу для задачи минимизации.

Данная теорема обобщает третий и четвертый из рассмотренных случаев, в которых область допустимых решений является незамкнутой, утверждая, что при таком виде области оптимальное решение существует не всегда, а только в тех случаях, когда линейная функция ограничена снизу для задачи минимизации и когда линейная функция ограничена сверху для задачи максимизации.