Основные теоремы линейного программирования. Фундаментальная теорема и теорема об альтернативном оптимуме.
Теорема. (Фундаментальная). Если задача ЛП имеет оптимальное решение, ( в ограниченной области всегда, а в не ограниченной области в зависимости от ограниченности линейной функции), то оно совпадает, по крайней мере, с одним из опорных решений системы ограничительных уровней.
Данная теорема обобщает все из рассмотренных выше случаев, утверждает, что если задача ЛП имеет оптимальное решение, то оно совпадает хотя бы с одной из вершин области допустимых решений.
Теорема. (Об альтернативном оптимуме). Если maх или min линейной функции достигает в нескольких опорных решениях, то любое оптимальное решение есть выпуклая линейная комбинация оптимальных решений.
Геометрически интерпретация данной теоремы означает. Что в случае альтернативного оптимума линии уравнения проходят через две вершины области допустимых решений и в этом случае оптимальное решение становится любая точка отрезка, соединяющая эти вершины.
Геометрическая интерпретация симплекс-метода.
Из приведенных основных теорем ЛП следует, что если задача ЛП имеет оптимальное решение, то оно соответствует хотя бы одной угловой точке многогранника решений и совпадает. По крайней мере, с одним из допустимых базисных решений системы ограничений:
Необходимо найти все опорные решения (точки многогранника), множество которых является конечным;
Вычислить для каждого из опорных решений значения целевой функции
Сравнить значения целевой функции в каждой из опорных решений и выбрать оптимальное (максимальное или минимальное)
Теоретически данная схема приведет к нахождению оптимального решения, но практически её осуществление связано с большими вычислительными трудностями. Даже в задаче с двумя переменными число опорных решений может оказаться очень большим, а при большом значении n оно может достигать огромных чисел и практическое осуществление указанного перебора всех опорных решений станет невозможным. Эти вычисленные трудности возникают в результате того, что рассмотренная принципиальная схема связана с простым перебором опорных решений, т.е. в этой схеме не принимается во внимание тот факт, на сколько новое испытуемое опорное решение улучшает значение решения целевой функции и приближает нас к оптимальному решению. Если же указанный перебор опорных решений производить направлении., т.е. на каждом из шагов улучшая ( или, по крайней мере, не ухудшая) значения целевой функции то число перебираемых опорных решений можно резко сократить, что в конечном итоге приводит к весьма существенному сокращению числа шагов при отыскивании оптимума целевой функции. При использовании такой схемы, в отличие от первой, каждое последующее опорное решение выбирается таким образом, чтобы оно было лучше, (или по крайней мере, не хуже) предыдущего. Именно на каждом из шагов значение целевой функции улучшается ( или, по крайней мере, не ухудшается).
Сравним результаты применения схем простого и направленного перебора на конкретном примере.
Р
ассмотрим
случай, когда область допустимых решений
задачи ЛП (рис.1) представлена замкнутым
выпуклым многоугольником ABCDEGH.
Предположим, что первым из базисных
решений которое найдено, является вектор
,компоненты которого
соответствуют координатам угловой
точки А рассматриваемого многоугольника.
При использовании схемы прямого перебора
решений, мы, последовательно переходя
от вершины к вершине ( начиная от вершины
А и заканчивая вершиной Н), вынуждены
бы были испытать все семь вершин
многоугольника. Предположим, что
применение данного способа позволило
нам определить. Что оптимум достигается
в точке С.
Из чертежа видно, что, применяя метод направленного перебора, мы от вершины А перешли бы к вершине В, а затем к оптимальной вершине С, перебрав таким образом всего 3 точки, (вместо 7. Которые мы должны были бы испытать, используя метод простого перебора).
В то же время очевидно, что для практического применения метода направленного перебора необходимо знать:
Алгоритм определения какого-либо первоначального допустимого решения задачи
Алгоритм перехода к лучшему ( или, точнее, не к худшему) решению
Признак, указывающий на , то, что найденое решение относительно.
Фундаментом универсального метода решения задач ЛП. Который называется симплекс-методом, является метод направленного перебора.
Геометрическая интерпретация симплекс-метода состоит в последовательном переходе от одной вершины многогранника к другой ( от первоначально выбранной вершины к одной из соседних вершин, а именно к той, у которой линейная функция принимает лучшее или, по крайней мере, не худшее значение). Этот процесс происходит до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение-вершина, где достигается оптимальное оптимальное решение-вершина, где достигается оптимальное значение функции (если задача имеет конечный оптимум).
Идея симплекс-метода разработана русским учёным Л.В. Канторовичем в 1939 году. На основе этой идеи американский учёный Д.Данциг в 1949 году разработал симплекс-метод, позволяющий решать любую задачу ЛП.
В настоящее время на основе этого метода разработан пакет программ с применением которого решается задачи ЛП.
Рис. 1.Геометрическая интерпретация симплекс-метода.
