Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
I Линейное программирование.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
24.04.2019
Размер:
506.37 Кб
Скачать
  1. Основные теоремы линейного программирования. Фундаментальная теорема и теорема об альтернативном оптимуме.

Теорема. (Фундаментальная). Если задача ЛП имеет оптимальное решение, ( в ограниченной области всегда, а в не ограниченной области в зависимости от ограниченности линейной функции), то оно совпадает, по крайней мере, с одним из опорных решений системы ограничительных уровней.

Данная теорема обобщает все из рассмотренных выше случаев, утверждает, что если задача ЛП имеет оптимальное решение, то оно совпадает хотя бы с одной из вершин области допустимых решений.

Теорема. (Об альтернативном оптимуме). Если maх или min линейной функции достигает в нескольких опорных решениях, то любое оптимальное решение есть выпуклая линейная комбинация оптимальных решений.

Геометрически интерпретация данной теоремы означает. Что в случае альтернативного оптимума линии уравнения проходят через две вершины области допустимых решений и в этом случае оптимальное решение становится любая точка отрезка, соединяющая эти вершины.

  1. Геометрическая интерпретация симплекс-метода.

Из приведенных основных теорем ЛП следует, что если задача ЛП имеет оптимальное решение, то оно соответствует хотя бы одной угловой точке многогранника решений и совпадает. По крайней мере, с одним из допустимых базисных решений системы ограничений:

  • Необходимо найти все опорные решения (точки многогранника), множество которых является конечным;

  • Вычислить для каждого из опорных решений значения целевой функции

  • Сравнить значения целевой функции в каждой из опорных решений и выбрать оптимальное (максимальное или минимальное)

Теоретически данная схема приведет к нахождению оптимального решения, но практически её осуществление связано с большими вычислительными трудностями. Даже в задаче с двумя переменными число опорных решений может оказаться очень большим, а при большом значении n оно может достигать огромных чисел и практическое осуществление указанного перебора всех опорных решений станет невозможным. Эти вычисленные трудности возникают в результате того, что рассмотренная принципиальная схема связана с простым перебором опорных решений, т.е. в этой схеме не принимается во внимание тот факт, на сколько новое испытуемое опорное решение улучшает значение решения целевой функции и приближает нас к оптимальному решению. Если же указанный перебор опорных решений производить направлении., т.е. на каждом из шагов улучшая ( или, по крайней мере, не ухудшая) значения целевой функции то число перебираемых опорных решений можно резко сократить, что в конечном итоге приводит к весьма существенному сокращению числа шагов при отыскивании оптимума целевой функции. При использовании такой схемы, в отличие от первой, каждое последующее опорное решение выбирается таким образом, чтобы оно было лучше, (или по крайней мере, не хуже) предыдущего. Именно на каждом из шагов значение целевой функции улучшается ( или, по крайней мере, не ухудшается).

Сравним результаты применения схем простого и направленного перебора на конкретном примере.

Р ассмотрим случай, когда область допустимых решений задачи ЛП (рис.1) представлена замкнутым выпуклым многоугольником ABCDEGH. Предположим, что первым из базисных решений которое найдено, является вектор ,компоненты которого соответствуют координатам угловой точки А рассматриваемого многоугольника. При использовании схемы прямого перебора решений, мы, последовательно переходя от вершины к вершине ( начиная от вершины А и заканчивая вершиной Н), вынуждены бы были испытать все семь вершин многоугольника. Предположим, что применение данного способа позволило нам определить. Что оптимум достигается в точке С.

Из чертежа видно, что, применяя метод направленного перебора, мы от вершины А перешли бы к вершине В, а затем к оптимальной вершине С, перебрав таким образом всего 3 точки, (вместо 7. Которые мы должны были бы испытать, используя метод простого перебора).

В то же время очевидно, что для практического применения метода направленного перебора необходимо знать:

  • Алгоритм определения какого-либо первоначального допустимого решения задачи

  • Алгоритм перехода к лучшему ( или, точнее, не к худшему) решению

  • Признак, указывающий на , то, что найденое решение относительно.

Фундаментом универсального метода решения задач ЛП. Который называется симплекс-методом, является метод направленного перебора.

Геометрическая интерпретация симплекс-метода состоит в последовательном переходе от одной вершины многогранника к другой ( от первоначально выбранной вершины к одной из соседних вершин, а именно к той, у которой линейная функция принимает лучшее или, по крайней мере, не худшее значение). Этот процесс происходит до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение-вершина, где достигается оптимальное оптимальное решение-вершина, где достигается оптимальное значение функции (если задача имеет конечный оптимум).

Идея симплекс-метода разработана русским учёным Л.В. Канторовичем в 1939 году. На основе этой идеи американский учёный Д.Данциг в 1949 году разработал симплекс-метод, позволяющий решать любую задачу ЛП.

В настоящее время на основе этого метода разработан пакет программ с применением которого решается задачи ЛП.

Рис. 1.Геометрическая интерпретация симплекс-метода.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]