17. Метод Гомори. Целочисленное решение(НЕУВЕРЕНА!!!!!))

    Значительная часть задач коммерческой деятельности требует целочисленного решения. К ним относятся задачи, у которых переменные величины означают количество единиц неделимой продукции, например распределение товаров между коммерческими предприятиями, раскрой материалов, число станков при загрузке оборудования, распределение транспортных средств по рейсам, распределение коммерческих заказов между оптовыми предприятиями, продажа автомобилей, распределение самолетов по авиалиниям, количество вычислительных машин в управляющем комплексе и др. Линейные задачи, решение которых должно быть получено в целых числах, называют задачами целочисленного программирования. Задача целочисленного программирования формулируется так же, как и задача линейного программирования, но включает дополнительное требование, состоящее в том, что значения переменных должны быть целыми неотрицательными числами, например, х1 = 30 станков, х2 = 16 самолетов, х3= 7 человек. Методы целочисленной оптимизации можно разделить на три основные группы: а) методы отсечения; б) комбинированные методы; в) приближенные методы. Рассмотрим один из методов отсечения — метод Гомори. Сущность методов отсечения состоит в том, что сначала задача решается без условия целочисленности. Если полученный план целочисленный, то задача решена. В противном случае к ограничениям задачи добавляется новое ограничение, обладающее следующими свойствами: а) оно должно быть линейным; б) должно отсекать найденный оптимальный нецелочисленный план; в) не должно отсекать ни одного целочисленного плана. Дополнительное ограничение, обладающее указанными свойствами, называется правильным отсечением. Алгоритм Гомори, основанный на симплексном методе, имеет простой способ построения правильного отсечения и содержит следующие этапы. 1. Задача линейного программирования решается без учета условия целочисленности симплексным или двойственным симплексным методом. Если все элементы оптимального плана целые числа, то решение заканчивается для задачи целочисленного программирования. 2.  Если среди элементов оптимального решения есть нецелые числа, то необходимо выбрать элемент с наибольшей дробной частью и составить дополнительное ограничение (сечение), которое отсекает нецелочисленные решения. Дополнительное ограничение дается в том случае, если значение базисной переменной в оптимальном плане xi=bi — дробное число. Тогда некоторые элементы аij в i-й строке симплексной таблицы также дробные числа. Обозначим [bi] и [аij] целые части чисел bi и аij, т.е. наибольшие целые числа, не превышающие bi и aij. Величины дробных частей qi и qij определяются как разности следующим образом: qi = bi - [bi]; qij =аij - [aij] и являются положительными числами. Тогда неравенство qi-qi1 x1 - qi2x2 - ... - qimxn  0, сформированное по i-й строке симплексной таблицы обладает всеми свойствами правильного отсечения. Неравенство преобразуется в уравнение путем введения дополнительной неотрицательной переменной и включается в оптимальную симплексную таблицу. 4. Полученная расширенная задача решается двойным симплексным методом. Если новый оптимальный план будет целочисленным, то задача решена. В противном случае необходимо вернуться к п. 2 алгоритма. Если в процессе решения в симплексной таблице появится уравнение с нецелым свободным членом bi и целыми коэффициентами aij, то данная задача не имеет целочисленного оптимального решения. Пример. Маркетинговые исследования указали на необходимость освоения выпуска новой продукции. Поэтому на предприятии решено установить новое технологическое оборудование на освободившейся площади 10 м2. На приобретение оборудования двух видов выделено 6 млн. руб. Комплект первого вида оборудования стоимостью 1 млн руб. устанавливается на площади 5 м2 и позволяет увеличить доход предприятия на 8 млн руб. Комплект второго вида оборудования занимает площадь 2 м2, стоит 1 млн руб. и обеспечивает увеличение дохода предприятия на 5 млн руб. Определите, какое количество технологического оборудования каждого вида следует закупить, чтобы обеспечить максимальное увеличение дохода предприятия от продажи выпускаемой продукции.

18. Двойственная задача линейного программирования и ее математическая модель.(не до конца!!!!)

С каждой задачей ЛП связана другая задача. Название двойственной по отношению к исходной, заметим, что часто говорят о взаимодвойственных задачах т.к. если для исходной построена двойственная, а затем для неё так же построена двойственная, то получится исходная задача.

Рассмотрим пары взаимодвойственных задач позволяет решать ряд проблем:

1. Выбрать наиболее простой способ решения одной задачи, а из него найти решение другой задачи.

2. Рассматривая экономическую интерпретацию двойственных задач можно дать трактовку не только основным и дополнительным переменным, а ещё получить ряд дополнительных соотношений для прогноза и планирования, п и измененных условиях.

21. Виды двойственных задач. Правила составления симметричных двойственных задач линейного программирования.

Можно рассмотреть 2 вида двойственных задач:

- симметричный

- несимметричный

+ смешанный

Для симметричных двойственных задач характерно задание системы ограничений в виде системы неравенств.

Пусть прямая задача имеет вид:

F(x) = C₁x₁+C₂X₂+…+C_nX_n → max (в матрице после вертикальной границы вертикально стоят y1,y2,…,ym)

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n≤b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n≤b₂

……………………………

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n≤b_m

xj≥0 j=1,n

Правило составления симметричной двойственной задачи ЛП.

1. каждому неравенству системы ограничений прямой задачи соответствует 1 переменная двойственной задачи Y=(y₁, y₂, …, y_m) – вектор переменных двойственной задачи. Если в прямой задаче система ограничений содержит m строк, то в двойственной задаче будет m переменных.

2. коэффициенты системы ограничений двойственной задачи получаются путем транспонирования матрицы коэффициентов прямой задачи (здесь между 2 и 3 строчкой строка точек)

3. столбец свободных членов двойственной задачи состоит из коэффициентов целевой функции прямой задачи С1, С2, …, Сn.

4. коэффициентами целевой функции двойственной задачи служат элементы столбца свободных членов прямой задачи b1, b2, …,bm

5. знаки неравенств в системе ограничений двойственной задачи противоположны знакам неравенств прямой задачи (сохраняя при этом строгость)

6. экстремумы взаимодвойственных задач противоположны, т.е. если прямая задача на max, то двойственная на min. И наоборот.

7. для симметричных задач все переменные и прямой и двойственной задачи неотрицательны.

Таким образом, с учетом правил, симметричная двойственная задача примет вид

Z(Y)= b₁y₁+b₂y₂+…+b_my_m→min

a₁₁y₁+a₂₁y₂+…+a_m1y_m≥c₁

a₁₂y₂+a₂₂y₂+…+a_m2y_m≥c₂

………………………………

a_1ny₁+a_2ny₂+…+a_mny_m≥c_n

yi≥0, i=1,m

22. Виды двойственных задач. Правила составления несимметричных двойственных задач линейного программирования.

Можно рассмотреть 2 вида двойственных задач:

- симметричный

- несимметричный

+ смешанный

В несимметричном случае одна из задач представлена в канонической форме. (в матрице после вертикальной границы вертикально стоят y1,y2,…,ym)

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=b₂

……………………………

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=b_m

xj≥0 j=1,n

!!! Основные правила составления двойственной задачи те же, что и в симметричном случае. Отличаются пункты 5 и 7.

5. Если в целевой функции двойственной задачи требуется найти max, то в системе ограничений будут содержаться неравенства вида ≤. А если двойственная задача на min, то ≥.

7. т.к. в прямой задаче в системе ограничений содержатся только уравнения, то в двойственной задаче условия неотрицательности отсутствуют. Т.е. yi – произвольно изменяющаяся переменная.

Таким образом для указанной прямой задачи двойственная задача примет вид:

Z(Y)= b₁y₁+b₂y₂+…+b_my_m→min

a₁₁y₁+a₂₁y₂+…+a_m1y_m≥c₁

a₁₂y₂+a₂₂y₂+…+a_m2y_m≥c₂

………………………………

a_1ny₁+a_2ny₂+…+a_mny_m≥c_n

yi≥0, i=1,m