- •1.Множества и действия над ними.
- •7. Предельный переход в неравенствах (для последовательностей).
- •8. Применение теоремы о пределе монотонной последовательности к вычислению пределов.
- •17. Критерий Коши существования предела функции.
- •18. Локальные свойства функций имеющих предел.
- •19. Теорема о пределе суперпозиции.
- •23.Символы о-малое и о-большое, эквивалентные б.М. И б.Б.
- •24. Замечательные пределы
- •25. Асимптоты графика функции
- •26. Понятие непрерывной функции. Простейшие свойства непрерывных функций, в том числе, вытекающие из свойств предела.
- •28. Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора.
- •30. Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях.
- •33. Дифференцируемые функции. Понятие дифференциала.
- •34. Арифметические операции с дифференцируемыми функциями.
- •35. Дифференцирование сложной функции
- •36. Дифференцирование обратной функции.
- •37.Дифференцирование элементарных функций. Таблица производных.
- •38. Локальный экстремум функции. Теорема Ферма.
- •39. Теоремы о среднем значении для дифференцируемых функций: теоремы Роля, Лагранжа и Коши.
- •40. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •45. Правило Лопиталя.
- •46. Условия монотонности функции.
- •47. Условия экстремума функции.
- •48. Условия выпуклости функции.
- •49. Точки перегиба графика функции.
- •50. Множество вещественных чисел (натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа, модуль (абсолютная величина вещественного числа) и его свойства.
- •51. Комплексные числа.
40. Производные и дифференциалы высших порядков.
если функция имеет в каждой точке конечную производную , то производная функции в точке называется производной -го порядка функции в точке и обозначается одним из символов .
Таким образом,
Наконец, мы будем говорить, что функция раз дифференцируема в точке , если в некоторой окрестности этой точки она имеет конечную производную порядка (а стало быть имеет и все производные , ,…, ) и функция дифференцируема в точке .
41. Формула Тейлора для многочлена.
Формула называется формулой Тейлора в точке для многочлена степени .
42. Локальная формула Тейлора (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано).
называют, соответственно, формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано или, также, локальной формулой Тейлора.
43.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Коши.
(формула Тейлора с остаточным членов в форме Лагранжа), (формула Тейлора с остаточным членом в форме Коши).
44.Разложение элементарных функций по формуле Тейлора.
nо4. Разложение некоторых элементарных функцией по формуле Тейлора.Если , то формула Тейлора функции имеет особенно простой вид: (1)В этом случае она называется формулой Маклорена. Остаточный член в ней в форме Пеано, Лагранжа и Коши, соответственно, имеет вид , ,и .по формуле Маклорена. . Пусть . Эта функция имеет производные любого порядка и в любой точке (в таких случаях говорят, что функция бесконечно дифференцируема на всей числовой оси).
Как известно
Поэтому формула Маклорена функции имеет вид ( ):
где остаточный член можно записать в любой из форм: ( в форме Пеано) ( в форме Лагранжа)и (в форме Коши),где точка в каждой из двух последних формул лежит между точками и .
45. Правило Лопиталя.
Теорема 1. Пусть функции и дифференцируемы на конечном или бесконечном интервале , на и (1) Тогда если существует конечный или бесконечный предел (2)то существует и равный ему предел , т.е. (3)
Замечание 1. Аналогичное утверждение справедливо, если в условиях этой теоремы заменить всюду на .
Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 1. Возможны два случая: 1) - конечно и 2) . Рассмотрим сначала случай, когда, например, – конечное. Доопределим функции и в точке , положив
Тогда, с учетом условия (1), каково бы ни было , в силу дифференцируемости этих функций на интервале они будут непрерывными на отрезке . Следовательно, на всяком таком отрезке функции и удовлетворяют условиям теоремы Коши о среднем значении. Поэтому на любом таком отрезке существует такая точка , что
|
(4) |
Заметим, что здесь по условию теоремы . Кроме того,
(поскольку , то это равносильно тому, что ). Действительно, в противном случае, по теореме Ролля, нашлась бы такая точка , что . Но это противоречит условию теоремы, в частности тому, что на . Из сделанных выше замечаний следует, что равенство (4) можно переписать в виде .
Но, так как , то это равносильно равенству .Учитывая теперь (2) и то, что при , в силу последнего равенства и теоремы о пределе суперпозиции, имеем .Рассмотрим второй случай, когда, . Тогда не уменьшая общности можно считать, что
Теорема 2. Пусть функции и дифференцируемы на конечном или бесконечном интервале , на и
.Тогда если существует конечный или бесконечный предел
то существует и равный ему предел
.Замечание 2. Аналогичное утверждение справедливо и при замене условия на условие .