33. Дифференцируемые функции. Понятие дифференциала.
Пусть
функция
определена в окрестности точки
.Определение
1. Если
существует такая линейная функция
вещественного аргумента
(
),
что приращение
функции
может быть представлено в виде
где
при
,то
функция
называется дифференцируемой в точке
,
а соответствующая линейная функция
аргумента
называется
ее дифференциалом в этой точке.Дифференциал
функции
в точке
обычно обозначается одним из символов:
или
.В
последнем случае имеют в виду, что
,
при этом часто опускают указание о том,
в какой точке рассматривается этот
дифференциал, т.е. для обозначения
дифференциала используют символы
или
.
Таким образом,
.Замечание
1. Очевидно,
равенство (1) можно записать в виде
,
где
и
,(т.е.
- бесконечно малая при
высшего порядка по сравнению с
)
или, короче, в виде
, где
- приращение функции в точке
,
соответствующее приращению аргумента
.
Замечание 2.
Поскольку
,
то вместо (2) также пишут:
Теорема
1. Для
того, чтобы функция
была дифференцируемой в точке
,
необходимо и достаточно, чтобы она имела
в этой точке конечную производную
.
Д
о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость.
Пусть функция
дифференцируема в точке
.
Тогда из равенства (1) следует, что
Это
означает, что существует конечная
производная
.
Достаточность. Предположим, что в точке функция имеет конечную производную . Тогда из равенства
следует,
что
,где
- бесконечно малая при
функция. Поэтому
и так как
(ибо
),то
равенство (4) можно записать в виде:
,
в виде (1), где
.
Таким образом, функция
дифференцируема в точке
□Замечание
3. Из
доказательства теоремы видно, что
дифференциал функции в точке
есть следующая линейная функция от
приращения аргумента
:
.
А
поскольку для функции
имеем
, то
,т.е.т.е.
,Таким
образом, можно сказать, что
- дифференциал
независимой переменной
и, следовательно, определению дифференциала
можно придать форму:
.
Отсюда, в частности, становится
понятным, почему производную
обозначают также
.
34. Арифметические операции с дифференцируемыми функциями.
Теорема.
Пусть функции
и
определены в окрестности точки
и дифференцируемы в этой точке. Тогда
в этой точке дифференцируема и каждая
из функций
,
,
и
(при
),причем
;
,
,
.Д
о к а з а т е л ь с т в о. 1.
Дифференцируемость
функции
и равенство
(1) очевидно
будут установлены, если будут установлены
дифференцируемость функции
и равенство (3). В этом случае достаточно
будет рассмотреть функцию
.
2. Дифференцируемость
функции
и
равенство(2)
вытекают из того, что имеют место
равенства
и
из того, что по условию существуют
конечные пределы
и
,при
этом следует помнить, что дифференцируемость
функции в точке
равносильна существованию конечной ее
производной в этой точке.3.
Дифференцируемость
произведения функций и равенство
(3).Пусть
.Тогда
,и,
следовательно,
.В
силу дифференцируемости функций
и
в точке
,
существуют конечные пределы
,
и
.
Поэтому из (5) следует, что существует
конечный предел
,т.е.
функция
дифференцируема в точке
.
Переходя в равенстве (5) к пределу при
с учетом равенств (6) и (7) получим равенство
(3).4.
Дифференцируемость
и равенство
(4). Положим
.
По крайней мере, в некоторой окрестности
точки
,
это определение корректно, так как
и функция
непрерывна в точке
.Далее,
имеем:
,и,
следовательно,
.Рассуждая
теперь аналогично пункту 3 данного
доказательства,убеждаемся, что функция
дифференцируема в точке
,
а перходя здесь к пределу при
получим также и равенство (4) □Замечание
(о формулах для дифференциалов, вытекающих
из формул (1) - (6)). Учитывая, что дифференциал
функции
в точке
находится по правилу
из формул (1)–(4) , умножая каждую из них
на
,
получим следующие формулы для
дифференциалов:
(здесь
);
;
;
.