30. Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях.

Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена на этом отрезке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное. Тога для любого натурального найдется такая точка , что . (1)Так как последовательность ограничена ( ), то по теореме Больцано-Вейерштрасса она содержит сходящуюся подпоследовательность . Пусть при .

Очевидно, что (для того, чтобы убедиться в этом достаточно в неравенствах перейти к пределу при ). Поэтому в силу непрерывности функции на отрезке Следовательно, последовательность ограничена, что, противоречит тому, что согласно (1)

31. Критерий непрерывности монотонной функции. Для того чтобы функция f, монотонная на отрезке, была непрерывной на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы множеством значений функции был тоже отрезок.

Теорема об обратной функции к непрерывной строго монотонной функции (без доказательства).

Если функция y=f(x) на промежутке (a,b) строго монотонна и непрерывна, то обратная функция x= (y) тоже строго монотонна и непрерывна.

32. Понятие производной, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к графику функции в данной точке. n°1. Понятие производной.Пусть и . Точка называется внутренней точкой множества , если она принадлежит ему вместе с некоторой своей окрестностью, т.е. существует такая окрестность точки , что .Пусть теперь функция определена на множестве и - внутренняя точка множества . Тогда существует такая окрестность точки , что и, следовательно, функция

определена на множестве и – точка сгущения этого множества. Таким образом, корректно следующее

Определение 1. Если существует предел ,то он называется производной функции в точке . Производная функции ( ) в точке обозначается одним из последующих символов:

, , , ,при этом если ясно, в какой точке рассматривается производная, то для ее обозначения используют символы: , , , . Таким образом,

Замечание 1. Если положить , , то теорема о пределе суперпозиции позволяет также определить производную с помощью любого из равенств: , . Величины и называют, соответственно, приращением аргумента и приращением функции в точке . В соответствии с равенством (3), можно сказать, что производная равна пределу отношения приращения функции (в точке ) к приращению аргумента.

Замечание 2. Определение производной выше было дано в предположении, что точка - внутренняя точка области определения функции . Если же точка не является внутренней точкой множества , но принадлежит этому множеству вместе с некоторой своей односторонней окрестностью , или , то можно ввести понятие односторонней производной:

(правая производная); (левая производная).Замечание 3. В определении производной не требуется, чтобы предел (1) был конечным. Если предел (1) равен или , то производная называется бесконечной.Теорема 1. Пусть функция определена в окрестности точки и имеет в этой точке конечную производную. Тогда она непрерывна в этой точке. Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно заметить, что □n°2. Геометрический смысл производной. Производная функции в точке – тангенс угла наклона касательной к графику этой функции в точке (подробнее на лекции и в учебниках).n°3. Физический смысл производной Если функция ( ) описывает закон изменения одной физической величины в зависимости от изменения другой физической величины , то производная часто называется скоростью изменения первой из этих величин относительно второй, причем эта скорость порой имеет специальное название: сила тока, плотность вещества, ускорение (подробнее см. в учебниках).