38. Локальный экстремум функции. Теорема Ферма.

Определение 1. Пусть функция определена на множестве и . Говорят, что в точке функция имеет локальный минимум (локальный максимум) , если существует такая окрестность этой точки, что , ),(1)

при этом точку называют точкой локального минимума (локального максимума) функции. Замечание 1. Если внутренняя точка множества , т.е. если она принадлежит ему вместе с некоторой своей окрестностью то в условии (1) вместо « » можно писать « », считая без ущерба для общности , что .Замечание 2. Если в точке функция имеет или локальный минимум или локальный максимум, то говорят, что она имеет в этой точке локальный экстремум, при этом точку называют точкой локального экстремума.Замечание 3. Всякая точка максимума (минимума) фуркции на множестве , т.е. всякая точка , для которой , ),

иногда называется точкой глобального минимума (глобального максимума) функции на множестве .Очевидно, что всякая точка глобального экстремума, т.е. глобального максимума или глобального минимума, является также и точкой локального экстремума.Теорема 1(Ферма). Пусть функция определена на множестве , - внутренняя точка множества и функция дифференцируема в этой точке .Тогда, если – точка локального экстремума этой функции, то

.(2)Д о к а з а т е л ь с т в о. Для определенности будем считать , что ─ точка локального минимума . Тогда такое, что ( ─ внутренняя точка ) и .

Поэтому (3) .(4)Из неравенства (3) , в силу дифференцируемости функции в точке и теоремы о предельном переходе в неравенстве, очевидно следует, что а из неравенства (4) , в силу того же, в свою очередь, следует , что из неравенств (5) и (6) и вытекает равенство (2) □

39. Теоремы о среднем значении для дифференцируемых функций: теоремы Роля, Лагранжа и Коши.

1. теорема Лагранжа Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале .Тогда найдется такая точка , что

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию

Она очевидно непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и на концах отрезка принимает равные значения: .Тогда по теореме Ролля , т.е.

а это равносильно равенству (5) Теорема (Коши). Пусть функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале . Тогда _:

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию

Она, очевидно, удовлетворяет условию теоремы Ролля, согласно которой , т.е.

что равносильно равенству (6).

Теорема Роля

Пусть функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и на концах отрезка принимает равные значения : Тогда существует такая точка , что

Д о к а з а т е л ь с т в о. По первой теореме Вейерштрасса (о непрерывной на отрезке функции) функция ограничена на

отрезке . Следовательно числа и конечны.

Если , то очевидно функция является постоянной на отрезке . Тогда в качестве точки , для которой имеет место (2), можно взять любую точку интервала .

Пусть . Тогда выполнено по крайней мере одно из неравенств (3)и (4)

Пусть, например, имеет место последнее из них. По второй теореме

Вейерштрасса о непрерывной на отрезке функции , при этом в силу (4) и , т.е. . По определению числа точка является точкой локального максимума функции (и даже точкой глобального максимума этой функции). Поэтому по теореме Ферма в этой тосчке имеет место равенство (2)