Программа (вопросы)
по МА(Э) 1 сем (2011-2012гг)
1.Множества и действия над ними.
Ту
или иную совокупность (класс, семейство)
рассматриваемых объектов будем называть
множеством,
а соответствующие объекты – элементами
или точками
этого множества. Множество состоящее
из конечного числа элементов называется
конечным,
в противном случае оно называется
бесконечным.
Определение
1.
Если каждый элемент множества
является также и элементом множества
,
то множество
называется подмножеством
множества
,
при этом пишут
или
.
Определение
2.
Множества
и
называют равными
друг другу и пишут
, если они состоят из одних и тех же
элементов или, иначе, если
и
.
Определение
3. Объединением
множеств
и
называется множество
.Определение
4.
Пересечением
множеств
и
называется множество
.
Очевидно, имеют место следующие свойства
операций ∪
и
∩:
а)
(коммутативность
операции
∪);
б)
(коммутативность
операции
∩);
в)
(ассоциативность
операции
∪);
г)
(ассоциативность
операции
∩);
д)
и
(дистрибутивные
свойства операций
∪
и
∩);
Определение 5.
Разностью
между множеством
и множеством
называется множество
.Определение
6.
Прямым
(или
декартовым)
произведением
множеств
и
называется множество всех упорядоченных
пар
таких, что
.
6.Арифметические
свойства сходящихся последовательностей.Лемма
1. Если
последовательность
сходится и
,то
последовательность
также сходится и
(короче,
).Д о к а з а т е л ь с т в о (самостоятельно).
Выберем
.
Т.к.
,
то
:
,а
по свойству 5о
абсолютной величины
,Þ
.В
силу произвольности выбранного
,
это и означает, что
□Определение
1. Суммой,
разностью, произведением и частным
последовательностей
и
называются, соответственно, следующие
последовательности:
,
,
и
,при
этом, говоря о последней из них,
предполагается, что
для любого
.
Теорема 1. ⊐
последовательности
и
сходятся.
Тогда
сходятся и последовательности
(c-
const),
,
и
–
последняя при условии
и
,
– при этом
а)
,
б)
(теорема о пределе суммы и разности)в)
(теорема о пределе произведения)г)
(теорема о пределе
частного)Д о к а з а т е л ь с т в о.
Будем далее считать, что
,
а
|
(1) |
.
Утверждение
а) является частным случаем утверждения
в), в частности, тем случаем, когда
и поэтому в отдельном доказательстве
не нуждается. Докажем утверждение б).
Для произвольного
выберем номера
и
,
соответственно, так, что
,
(вследствие (1) такие номера существуют). Но в силу свойства 4о абсолютной величины
Поэтому,
с учетом предыдущих двух неравенств
имеем
По
определению предела это означает, что
последовательность
сходится и имеет место равенство б).
Докажем теперь утверждение в). Прежде всего заметим, что
и
вследствие сходимости последовательности
она ограничена и, следовательно,
существует такое
,
что
,при
этом число
,
очевидно, можно выбрать так, чтобы
выполнялось и неравенство
.
Поэтому
.
|
(2) |
Теперь
в силу (1) для произвольного
найдутся такие номера
и
,
что
,
.Из
этих неравенств и из неравенства (2)
будем иметь
В
силу произвольности выбранного
это означает, что
.
Таким образом, утверждение в) также
доказано.Для доказательства утверждения
г) достаточно показать, что
, (3)
где
.
Действительно, если это будет доказано,
то утверждение г) будет следовать из
утверждения в):
.
Итак докажем равенство (3). Сначала заметим, что
.
(4)
Далее,
так как
,
то по лемме 1
и, следовательно, для
найдется такой номер
,
что
будем иметь, в частности,
,
что равносильно неравенству
.
Поэтому, с учетом (4),
<
.
(5)
Выберем теперь произвольное . Поскольку , то найдется такой номер , что
(6)
Положим
.
Тогда из (5) и (6), очевидно следует, что
,
а это по определению предела и означает, что справедливо равенство (3) □