Лекция №3 Математические модели надежности

Теория надежности как наука появилась после второй миро­вой войны, т. е. в то время, когда в эксплуатацию поступали сложные системы радиолокационного наблюдения, состоящие из сотен тысяч элементов. Практическое использование сложной аппаратуры затрудняли поломки и pазличного рода непредви­денные отказы. Было установлено, что чем сложнее аппаратура, т. е. чем из большего количества элементов она состоит, тем она ненадежнее. Стало очевидным, что без принятия специальных мер дальнейшее усложнение изделий невозможно.

Долгое время надежность, как свойство качества чувствовалась интуитивно Она не фигурировала в конструкторской доку­ментации с количественной стороны. В технической литературе термины надежность и качество употреблялись как синонимы, а некоторые авторы даже ставили надежность. над качеством. Однако надежность, являясь главнейшим свойством качества, не может подменить "качество". В ГОСТ 13377-67 были сформулированы и установлены показатели надежности, а затем в ГОСТ 27.002-83 они были уточнены.

Надежность — это свойство объекта выполнять заданные

функции, сохраняя во времени значения установленных эксплу­атационных показателей в заданных пределах при соответствующих режимах и условиях эксплуатации, технического обслуживания, ремонтов, хранении и транспортирования.

В теории надежности событием, заключающимся в потере работоспособности изделием, является отказ. Различают следующие виды отказов: внезапный, характеризуемые мгновенной потерей работоспособности, обусловленной поломками, резким изменением свойств материалом, пробоями диэлектриков и т. д. За наступлением этого отказа и его развитием наблюдение не устанавливается; постепенный, связанный с медленным измене­нием параметров изделия, свойств материалов, усталости и т. д. Развитие этого отказа может быть наблюдаемо; независимый, т. е. не обусловленный повреждением других элементов в проти­воположность зависимому отказу, который возникает из-за отка­зов других элементов; перемежающийся — это многократно по­вторяющийся отказ. Он вызывается переменным контактом или работой электронных устройств в критических режимах.

Кроме перечисленных, иногда различают отказы по условиям их возникновения, например эксплуатационный, конструкцион­ный, производственный и т. д.

Все отказы являются случайными в силу случайной природы их возникновения.

Остановимся на свойствах надежности

1. Безотказность – это свойство объекта непрерывно сохра­нять работоспособность в течение некоторого времени или неко­торой наработки.

Она характеризуется рядом показателей, среди которых основными являются следующие:

– вероятность безотказ­ной работы,

– средняя наработка до отказа,

– интенсивность отка­зов,

– параметр потока отказов,

– наработка на отказ.

Для пере­численных показателей разработаны их математические модели. Рассмотрим некоторые из них.

Вероятность безотказной работы P(t) – это вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ объекта не произойдет, т. е.

(1.2)

где P(t) – вероятность безотказной работы;

t – текущее время;

Т_з – заданное время.

На практике пользуются статистической вероятностью, кото­рая представляет собой предел отношения числа объектов, ра­ботающих безотказно за время t, к общему числу объектов, работающих при t = 0. Вероятность безотказной работы является событием, противоположным вероятности отказов:

где N —общее число объектов, работающих при t = 0;

n(t) – число объектов, отказавших к моменту времени t;

Q(t) – вероятность отказа объектов.

Средняя наработка до отказа Т_с – это математическое ожидание наработки объекта до первого отказа:

(1/3)

где N – число испытуемых объектов;

t_i – время исправной работы i-го объекта.

При определении Tc полагают, что испытание объектов заканчивается, когда все N объектов откажут.

Интенсивность отказов — это условная плотность ве­роятности возникновения отказа невосстанавливаемого объекта, определяемая для рассматриваемого момента времени при условии, что до этого момента отказ не возник. Интенсивность отказов определяется по формуле

На практике интенсивность отказов определяется как отноше­ние числа отказавших объектов n к числу исправно работающих объектов N_H за время Δt

при N→∞.

Рис. 1.5. График интенсивности отказов.

Интенсивность отказов представляет собой функцию, имеющую три характерных участка: приработки, нормальной эксплуатации, старения и износа (рис. 1.5). Для участка нормальной эксплуатации

λ=1/Т_с,

где Т_с – средняя наработка до отказа.

Параметр потока отказов – это отношение среднего числа отказов восстанавливаемого объекта за произвольно малую его наработку к значению этой наработки. В качестве характеристики потока отказов используют «ведущую функцию» — математическое ожидание числа отказов за время t

Ω(t)=n(t)/t,

где n(t) – число отказов за время t;

t – наблюдаемый отрезок времени.

Средняя наработка на отказ - это математическое ожидание времени исправной работы ремонтируемого объекта

(1.5)

где t_i – время исправной работы после i-го отказа;

N– число отказов в наблюдаемом промежутке времени.

Следует заметить, что Т_о и Т_с существенно отличаются друг от друга тем, что при определении Т_с учитывается работоспособность объекта до первого отказа, а при определении Т_о их работоспособность учитывается и после ремонта, точнее, в промежутке между ремонтами.

2. Долговечность — это свойство объекта сохранять работоспособность до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания и ремонтов. Она включает единичные показатели, такие, как средний срок службы, средний ресурс, назначенный ресурс и др.

Средний срок службы— это математическое ожидание срока службы, т. е. календарной продолжительности эксплуатации объекта от его начала эксплуатации или ее возобновления после ремонта до предельного состояния, при котором дальней­шая эксплуатация невозможна.

Назначенный ресурс — это суммарная наработка объекта, при достижении которой эксплуатация должна быть прекраще­на независимо от его состояния.

Средний ресурс — это математическое ожидание ресурса, вычисляемое статистически по опыту эксплуатации совокупности объектов.

Гамма процентный ресурс — это наработка, в течение которой объект не достигает предельного состояния с заданной вероятно­стью γ процентов. Определяется он из уравнения

1-F_p(t)=γ/100,

где F_p(t) -- функция распределения ресурса.

3. Ремонтопригодность – это свойство объекта, заключающееся в приспособленности к предупреждению и обнаружениюпричин возникновения его отказов и устранению их последствий путем проведения ремонтов и технического обслуживания. Ремонтопригодность включает два единичных показателя: вероятность восстановления в заданное время и среднее время восстановлении:

вероятность восстановления в заданное время описывается за­висимостью

Р_в(t)=Р_в(t≤T₃),

где Т₃ — заданное значение вре­мени восстановления;

среднее время восстановления — это математическое ожида­ние времени постановления работоспособности.

4. Сохраняемость — это свойство объекта непрерывно сохранять исправное и работоспособное состояние в течение и после хранения и транспортирования. Сохраняемость количественно оценивается гамма-процентным сроком сохраняемости и средним сроком сохраняемости.

Кроме перечисленных единичных показателей качества, на­дежность объекта оценивается рядом комплексных показателей таких, как коэффициент готовности, коэффициент технического обслуживания и коэффициент оперативной готовности.

Коэффициент готовности – это вероятность того, что объект окажется работоспособным в произвольный момент времени. Определяется коэффициент готовности К_г по формуле

K_г=T_р/(T_р+Т_п),

где Т_п – время простоя, вызванное отказом или ремонтом;

Т_р – время исправной работы.

Коэффициент технического обслуживания – это отношение математического ожидания времени работоспособного состояния объекта к сумме математических ожиданий работы и простоя, связанного с техническим обслуживанием и ремонтом. Определяется по формуле, аналогичной определению коэффициента готовности с той разницей, что вместо Т_п записывают Т_рем.

Коэффициент оперативной готовности – это вероятность того, что объект, находясь в режиме ожидания, окажется работоспособным в течение заданного времени, т. е.

K_ог=K_гP(t_p),

где P(t_p) — вероятность безотказной работы за время t_р.

Кроме перечисленных показателей, иногда используют ряд экономических, таких, как

средняя суммарная стоимость тех­нического обслуживания,

удельная суммарная стоимость техни­ческого обслуживания .

Количественные характеристики надежности различных объектов получают на основе экспериментальных данных о рас­пределении случайных отказов, поэтому теория вероятностей и математическая статистика составляют математические основы теории надежности.

Различные объекты в силу своих специфических особенно­стей, связанных с условиями эксплуатации, физико-химической природой их элементов и технологическими особенностями про­изводства, имеют отказы, распределение которых присуще рас­сматриваемому объекту. Однако, идя на некоторые упрощения, можно выделить ряд общих законов распределения отказов, которые с достаточной степенью точности могут быть исполь­зованы для родственных объектов

Наибольшее распространение в теории надежности получи­ли следующие распределения отказов: экспоненциальное, нор­мальное, Вейбулла, биномиальное, равномерное.

Нормальный закон распределения плотности отказов применяется при оценке надежности электромеханических объектов, подверженных износу и старению, т. е. объектов, в эксплуатации которых учитывается постепенный отказ.

Плотность отказов при их нормальном распределении описывается функцией вида

где Т_с – среднее время (математическое ожидание);

σ – среднее квадратическое отклонение значения времени отказов. Если t=Т_с, то функция f(t) принимает максимальное значение. Веро­ятность отказа оценивается интегралом от плотности f(t), т.е.

.

Вероятность безотказной работы P(t) равна событию, противоположному Q(t), следовательно,

Для нормального закона справедливо условие, при котором Q(t) = Q(+Зσ > t > -Зσ) = 0,997, а также то, что при t=σ функция плотности распределения имеет максимальную крутизну и точку перегиба. Нормальный закон является весьма общим. Он описывает явления, зависимые от множества различных факторов. При неограниченном возрастании числа независимых испытаний нормальный закон можно рассматривать как предельный, к которому сходятся другие распределения случайных величин. Графики функций плотности распределения и вероятности приведены на рис. 1.6.

Рис. 1.6 Законы распределения отказов: а - экспоненциальное распределен; б — функция вероятности безотказной работы экспоненциального распределения; в — распределе-ние отказов Вейбулла; г—функция вероятности беэотказной работы для распределения Вейбулла; д— нормальное распределение; е — функция безотказной работы для нормального распределения

Для вычисления вероятности отказов пользуются таблицами интеграла вероятностей |8]:

Так, если требуется вычислить вероятность отказа в интервале времени а — 3, то, зная среднее значение Т_с и пределы интегри­рования, находят

Экспоненциальный закон надежности приме­няется для случая редких событий, когда поток отказов являет­ся простейшим. Обычно его используют для оценки надежности объектов разового применения, а также для оценки надежности сложных объектов без учета специфики отдельных устройств, входящих в объект исследования. При этом предполагается, что все изделия имеют экспоненциальное распределение отка­зов, а их поток отказов является простейшим.

Простейший поток отказов удовлетворяет требованиям стационарности, ординарности и отсутствия последствия.

Стационарность означает, что отказы во времени распреде­лены равномерно. Вероятность возникновения отказов в интер­вале времени \/ t не зависит от того, где этот интервал распола­гается, а зависит лишь от величины интервала.

Ординарность означает, что в заданном интервале времени вероятность появления более одного отказа мала. На практике это условие выполняется, так как расчет надежности осуществляется на время до появления первого отказа.

Отсутствие последствия означает, что во всякий последу­ющий момент времени поток отказов не зависит oт того, как он протекал в предыдущие моменты времени. Это условие для электронной аппаратуры является довольно жестким, и оно выполняется не всегда полностью.

Если в большом числе N экспериментов определена интенсивность отказов ), то за время t количество отказов составит n = λt. При условии, что N→∞, можно записать

Q(t)=λt/N.

Очевидно, вероятность непоявления отказов составит

Р(t)=1-Q(t).

Для случая первого и повторного эксперимента вероятность непоявления отказа будет равна

P(t)=(1-Q(t))²

Очевидно, при N опытах будем иметь

Р(t)=(1-λt/N)^N.

Логарифмируя обе части уравнения, получаем

1nР(t)=Nln(1-λt/N).

Разложим ln(1-λt/N) в ряд при условии, что

+ 1 > λt/N > -1; ln (1 - λt/N)=-λt/N-(λt)²/2N-…,

следова­тельно,

ln P(t) = -λt-(λt)²/2-…

Учитывая, что

λt>>(λt)²/2,

имеем

lnР(t) =-λt,

а следовательно, Р(t)=е^-λt.

Этот закон вероятности непоявления отказов называют экспоненциальным законом надежности.

Вероятность возникновения одного отказа определяется как со­бытие противоположное вероятности безотказной работы: Q(t)=1-е^-λt. Следовательно, закон распределения плотности отка­зов будет иметь вид f(t)=λе^-λt. Графическое представление экспоненциального закона надежности дано на рис. 1.6.

Распределение Вейбулла получено в результате исследования сроков службы объектов, которым присущи усталостные явления, например вакуумные приборы, шарикоподшипники и т.д.

Плотность распределения отказов описывается зависимостью , где α —число отказов, на которое ведется расчет; То - среднее время между отказами. Вероятность безот-казной работы определяется по формуле .

Графическое представление закона распределения Вейбулла

приведено на рис. 1.6.

Биномиальное распределение используется для оценки надежности избирательно- суммирующих схем, приме-няемых в информационно-измерительных системах, в системах телефонной связи и т.д. Это распределение дискретных событий, имеющих два состояния, и пашем случае отказ или безотказность.

Вероятность безотказной работы описывается зависимостью вида

(1.6)

где n - общее число объектов системы; т — наименьшее число объектов, обеспечивающих функционирование рассматриваемой системы; k - число объектов из совокупности n, обеспечивающих функционирование систем; — число сочетаний из п по m; P - вероятность безотказной работы одного объекта.

Использование биноминального распределения рассмотрим на примере. Предположим, что система состоит из трех объектов. Каждый объект имеет два состояния: исправен, отказал. Нас интересует работоспособность системы для случая, когда из трех объектов работают не менее двух. Требуется определить вероятность отказной работы.

Рассмотрим возможные состояния системы, при которых она работоспособна:

а) первый и второй объекты работают, третий отказал; б) первый и третий объекты работают, второй отказал; в) второй и третий объекты работают, первый отказал; г) первый, второй и третий объекты работают.

Введем обозначения: Р₁,Р₂, Р₃ — вероятности безотказной ра­боты объектов; Q₁,Q₂,Q₃ - вероятности отказов объектов.

Система работоспособна при любом из перечисленных состо­яний, следовательно, Р_c=P₁P₂Q₃+P₁P₃Q₂+P₂P₃Q₁+P₁P₂P₃. Обычно объекты в системе одинаковы, поэтому Р₁= ... = Р, Q¹=...= Q, следовательно, Р_с=3Р²+Р³.

Или, используя формулу (1.6), найдем

В данном случае i принимает значения 2 и 3, т. е. то число, которое показывает по полезную комбинацию состояний объектов.

Кроме перечисленных pacпределений, могут быть использо­ваны распределение равномерной плотности; нормальное лога­рифмическое; гамма-распределение и др. Однако на практике наиболее часто применяют экспоненциальное, Вейбулла, нор­мальное и биноминальное распределения.

Оценка надежности при наличии перемежающихся отказов базируется на использовании равномерного распределения от­казов. При этом вероятность появления отказов составляет Q(t)=Ct, где С — параметр плотности распределения отказов. Следовательно, вероятность безотказной работы P(t)=1-Ct.

Таким образом, вероятность безотказной работы в данном случае является линейной функцией времени. Предположение о равномерном распределении перемежающихся отказов лишь приближении отражает фактическую картину отказов радио-аппаратуры и является наиболее подходящим для вычислительной аппаратуры.

Изложенные математические модели надежности широко используются в процессе конструирования на всех стадиях разработки, что говорит о несомненной общности рассмотренных моделей. Остановимся на некоторых приближенных методах расчета надежности. При этом воспользуемся некоторыми сведениями об интенсивностях отказов, заимствованными из работ [16, 20].