Глава 3

АНАЛИТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОПЕРАЦИЙ СИНТЕЗА И ОПТИМИЗАЦИИ КОНСТРУКЦИЙ

3.1. Постановка задачи синтеза

Исследование операций при син­тезе и оптимизации конструкций имеет единую целевую функ­цию, заключающуюся в отыскании оптимальных решений кон­структорской задачи. Процесс решения содержит все основные этапы исследования операций: постановку задачи, отыскание подходящих математических моделей, их- решение и проверку результатов операции.

Наиболее сложным на этапе постановки задачи является синтез, который представляет собой совокупность определенных правил или приемов (большей частью не формализованных), направленных на создание «образа" будущей конструкции. Системный, с высоким уровнем абстракции, современный син­тез опирается на опыт разработчика и четкое понимание перс­пективы развития аппаратуры.

Синтез конструкций электронной аппаратуры, обладающей заданным качеством, в настоящее время не для всех уровней конструктивной структуры формализован, а следовательно, не разработаны его математические методы. Такое состояние воп­роса объясняется нерешенностью ряда сложных проблем, в частности, касающихся формирования математических моде­лей сложных объектов и процессов, которые учитывают все многообразие связей, придающих объекту форму и содержание и устойчиво удерживающих его функциональное назначение при наличии внешних и внутренних воздействий.

Кроме того, существует ряд проблем из-за ограниченных возможностей решения многокритериальных задач с учетом мно­гообразия факторов, включая случайные. Поэтому синтез конструктивных модулей высших уровней (4 и 5) конструктивной структуры в настоящее время осуществляется эвристическими методами с частичным привлечением математических методов на базе использования ЭВМ. Что касается нижних и средних уровней (1, 2 и 3) конструктивной структуры, то здесь в по­следние годы сделаны значительные успехи, математические методы синтеза заняли доминирующее положение.

Процессу внедрения математических методов в значитель­ной мере способствовали достижения вычислительной техники, особенно систем автоматизации проектирования. Однако огром­ные возможности современных ЭВМ не используются на полную мощность из-за отсутствия эффективных методов, а следова­тельно, и алгоритмов выбора оптимальных форм, габаритных размеров, взаимосвязей и других элементов и компонентов кон­струкции.

Синтезом конструкций в узком смысле будем называть про­цесс формирования образа конструкции в соответствии с техни­ческим заданием и его воплощение в конструкторской докумен­тации, достаточно полно отражающей его основные параметры. Следует отметить, что конструктор в процессе работы распо­лагает определенной информацией в своей области деятельно­сти, поэтому создаваемому им образу конструкции всегда предшествует некоторый «прообраз», который, несомненно, об­легчает задачу синтеза.

В технической литературе часто отождествляют синтез и оптимизацию [5, 15], видимо, потому, что они тесно связаны и, когда мы говорим о синтезе, т. е. о процессе создания конструкции, мы всегда подразумеваем ,ее оптимизацию. Однако при более строгом подходе можно заметить, что синтез пред­шествует оптимизации, так как вначале формируется некоторая модель конструкции пли делаются ее наметки, а затем произ­водится оптимизация.

В тех задачах, где уровень формализации высок и матема­тические методы воплощены в конкретные алгоритмы и про­граммы, «первоначальный образ» конструкции как бы «зашит» в программу решаемой задачи. В таких случаях, очевидно, можно отождествлять синтез и оптимизацию, рассматривая их совместно.

В настоящее время математические методы синтеза, как правило, разработаны применительно к обеспечению одного основного показателя, т. е. современный синтез является ска­лярным, хотя векторный синтез предпочтительнее как обеспе­чивающий некоторую совокупность показателей. Такое состо­яние вопроса можно объяснить тем, что векторный синтез даже для модулей нижних уровней конструктивной структуры разра­ботан слабо в силу разной размерности показателей, наличия конфликтующих групп показателей качества и огромного набо­ра ограничений.

Считается [5], что векторный синтез целесообразен в тех задачах, где необходимо оценивать качество с нескольких точек зрения по отдельным показателям, а также там, где в динамике процессов участвуют несколько объектов, оцениваемых различ­ными критериями.

Учитывая изложенное, можно заключить, что, исходя из сло­жившихся условий и возможностей решения многокритериаль­ных задач, векторный синтез сводят к скалярному, т. е. к син­тезу по одному показателю, переводя остальные показатели в разряд ограничений.

Современный синтез конструкций электронной аппаратуры является системным. Он включает разработку конструкции с уче­том технологии изготовления объекта, условий его эксплуата­ции и требований на разработку, изложенных в техническом задании. Для успешного решения задач синтеза конструктору необходим исходный материал, который он черпает из схемо­технической документации, из технического задания, из спра­вочной литературы, а также из собственного опыта и изучения сопоставимо подобных изделий.

Исходным документом, в котором изложены требования, предъявляемые к качеству проектируемого объекта, является техническое задание (ТЗ). В нем отражены условия эксплуата­ции объекта, совокупность свойств, определяющих его функци­ональное назначение, налагаемые ограничения и т. д.

Целевая функция разработки состоит в том, чтобы спроек­тированное изделие отвечало требованиям ТЗ. Обычно сово­купность свойств изделия нацелена на получение от него мак­симальной эффективности. Такая постановка задачи подразу­мевает наличие глобального критерия, составными элементами которого являются отдельные показатели качества, связанные с ним или функционально или статистически. В свою очередь отдельные показатели связаны между собой, а их совокупность образует глобальный показатель, которым обычно является эффективность. Она характеризует отношение экономического выигрыша, получаемого от использования спроектированного объекта, к общим затратам на его разработку, изготовление и эксплуатацию.

Предположим, что глобальный показатель качества объекта К₀ определяется совокупностью показателей K_i низшего уровня

В данном случае K_i представляют собой некоторые множест­ва значений показателя качества i. Среди них есть те, которые содержат допустимые значения, т. е.

Следовательно, допустимое значение глобального показателя качества

Совокупность K_iд образует пространство допустимых решений, среди которых есть те, которые приводят /\_од к оптимальному значению К_орt = К (К_1орt, К_2орt, . . ., K_mорt).

В данном случае К_1орt K_iд, . . . , К_iорt K_iд, . . ., К_mорt K_mд.

Основная задача синтеза —создание конструкции, облада­ющей необходимыми значениями показателей качества, которые в процессе оптимизации доводятся до К_iорt.

При синтезе конструкции разработчик обращается к сопо­ставимо подобным конструкциям, отыскивая среди них наибо­лее подходящий прототип. Затем полагают, что найденный про­тотип конструкции является ее нулевым приближением, обла­дающим некоторым значением глобального показателя качества, равным K_п.

Подобрать сопоставимо подобный объект с точно заданным показателем качества К₀ практически невозможно, поэтому всегда имеется некоторое рассогласование ΔK_п в значениях показателей качества, т. е. К₀ = К_п + ΔK_п.

Дальнейшее совершенствование объекта составляет задачу оптимизации, которая рассматривается в настоящей главе.

Заметим, что глобальный показатель качества К₀, в свою очередь, состоит из некоторой «неизменной» части, т. е. некото­рого номинального значения К_н, и изменяющейся части ΔK, обус­ловленной наличием воздействий и всевозможных возмущающих факторов. Запишем глобальный показатель в матричной форме [K₀] = [K_н] + [ΔК].

Всесторонне учитывать различные факторы и принимать профилактические меры, уменьшающие их влияние, конструк­тор должен на ранних стадиях, например при синтезе конструк­тивной структуры, при разработке всех видов связей, существу­ющих между модулями, при разработке защищенности конст­рукции от внешних и внутренних факторов и т. д.

Для компенсации влияния факторов необходимо иметь не­которые «запасы» качества. Конструкция отвечает требованиям ТЗ при наличии внешних и внутренних факторов в том случае, если их влияние компенсируется запасами показателей каче­ства полностью, т. е.

(3.1)

где [ ] — область изменения показателей качества, обусловлен­ная внешними факторами; [ ]— область изменения показателей качества, обусловленная износом и старением; [ ]—область изменения показателей качества, вызванная конструктивно-техноло­гическим «вмешательством», направленным на повышение качества.

Первые два слагаемых формулы (3.1.) уменьшают качество, а третье слагаемое — компенсирует влияние первых двух.

Установим связь между показателями качества и действу­ющими факторами. Предположим, что областям изменения показателей качества можно поставить в определенное соответст­вие области изменения воздействующих факторов или области изменения параметров конструкции

(3.2)

где [α], [γ], [β] — матрицы операторов соответствия; [Δх] — матрица-столбец внешних воздействий; [Δt] — матрица-столбец интервалов времени износа (работы) изделия; [ΔG] — матрица-столбец вариа­ции конструктивно-технологических параметров.

В простейшем случае можно предположить, что операторы соответствия являются линейными.

Дня первого уравнения системы (3.2) при одном показателе качества и одном значении возмущающего фактора имеем ΔK₁ = α₁₁Δx₁.

Если K₁ является коэффициентом усиления, х₁ —температур­ное воздействие, то α₁₁ - коэффициент чувствительности, т.е. α₁₁ = ∂К₁/∂х₁.

Если возмущающих факторов m, а показателей качества — n, то первое уравнение из (3.2) можно записать в виде

После матричного умножения получим

Две матрицы равны, если равны их соответствующие члены, следовательно

В полученных уравнениях первое слагаемое есть результат изменения первого показателя качества под влиянием первого возмущающего фактора Δх₁ второе слагаемое — результат влияния второго возмущающего фактора и т. д.

Если i-й показатель качества не подвержен влиянию j-го воз­мущающего фактора, то α_ij = ∂K_i/∂x_j = 0, тогда ΔK_i = αijΔj = 0.

Таким образом, степень влияния на конструкцию различных факторов можно учесть в процессе разработки, если известны коэффициенты чувствительности α_ij. Эти коэффициенты принимаются равными тем, которыми обладает сопоставимо подобная конструкция. После разработки и изготовления опытного образ­ца пли опытной серии нового изделия производится уточнение сделанного ранее допущения о значениях α_ij.

Перейдем к оценке второго уравнения (3.2.). Предположим, что выполнены преобразования, подобные предыдущим, тогда

Коэффициенты γ_ij представляют собой коэффициенты чувстви­тельности объекта по износу и старению. Если полагать их оди­наковыми для различных отрезков эксплуатации Δt_i, то получим

ΔK_i = A_it_э, где A_i = ∂K_i/∂t = const; t_э = ∑ Δt_i

Для изделий, эксплуатируемых непродолжительное время и име­ющих малые значения А_i, можно считать, что ΔK_i=0.

Перейдем к третьему уравнению (3.2). Раскрыв матрицы [ΔK_β], [β] и [ΔG], получим

(3.3)

Коэффициенты β_ij представляют собой отношения β_iβ = ∂K_i/∂G

Из (3.3) следует, что, варьируя параметры конструкции (раз­мер, способ крепления, форм и т. д.), можно достичь желае­мого изменения качества.. .

Таким образом, нам удалось установить определенные связи между областями изменения Показателей качества и областя­ми изменения воздействий. Следовательно, в процессе синтеза конструкции можно оценить с количественных позиций по­следствия вариации элементов конструкции и те изменения показателей качества, которые с ней связаны.

Описанная постановка задачи синтеза ограничивается рам­ками линейных зависимостей. Это ограничение справедливо при малых отклонениях ΔG, Δx. Аналогично предыдущему можно поступать и при больших ΔG и Δх, однако элементы матриц α_ij и β_ij не будут постоянными. Они превращаются в функции, аргументами которых являются сами отклонения Δх и ΔG. Таким образом, в процессе синтеза мы проанализировали техническое задание, оценили заданные показатели качества, выбрали прообраз конструкции, сравнили его показатели с за­данными, нашли зависимость показателей качества от внешних воздействий и конструктивно-технологических решений. Дальней­шая деятельность конструктора связана с решением задачи оптимизации и с синтезом конструктивных модулей низших уровней.