2.3. Динамические процессы в системах

и методы их исследования

Процесс токарной обработки состоит из отдельных операций, которые подразделяются во времени на два этапа, на первом из них – пусковом при отведённом от детали резце, т.е. без усилия резания (F=0) происходит установка режимов работы станка, заданных по технологии. Второй этап токарной обработки начинается с момента врезания резца в заготовку и продолжается до конца операции, когда будет отработано заданное перемещение.

Таким образом, динамические процессы в системах ССР под­разделяются на процессы в пусковом режиме, когда система движется под действием изменившегося задания на скорость резания V₃ от одного установившегося значения скорости резания до другого при (F=0) и на процессы, обусловленные появлением усилия резания в момент врезания резца в заготовку. В пусковом режиме наиболее критичным является случай движения системы до установившегося значения скорости резания из состояния покоя, который в дальнейшем и будет рассматриваться.

Для исследования процессов, происходящих в системах ССР, содержащих ДЗ, было предложено использовать их линеаризованные уравнения (см. § 2.2), а также показано (см. § 2.1), что наиболее приемлемым из известных методов анализа систем ССР является метод замороженных коэффициентов. Проведём с их помощью исследование динамических процессов в системах ССР, считая, что переходные процессы, полученные с помощью решения исходных нелинейных уравнений систем ССР численным методом Рунге-Кутта на цифровых вычислительных машинах (ЦВМ), дают точные результаты [66].

Исследование систем ССР будем проводить, как и ранее, при передаточных функциях W₁(p), W₂(p) описывающихся (1.28), (1.29), которые при этом попадают под допущение (2.16), позволяющее производить линеаризацию дифференциальных уравнений соответствующих систем ССР.

В этом случае для ПДС (АППР) системы ССР в пусковом режиме (F=0) в соответствии с (1.70) и (2.25) можно записать

(2.33)

Проинтегрировав это выражение, определив постоянную интегрирования из условия того, что в момент времени t=0 система находилась в покое, т.е. у'''=у''=у'=0, y= и, подставив из (I.7I) значение К_д, получим

(2.34)

Решение у (2.34) ищем как сумму общего решения y₀ однородного уравнения, соответствующего (2.34), и частного решения y=At+B неоднородного уравнения (2.34) [103], т.е.

У=У₀+ У_*. (2.35)

Подставив у_* в (2.34), найдём

,

откуда определим А и В

A=2V₃K_R, (2.36)

(2.37)

О бщее решение y₀ (2.34) определяется корнями p_1,2 его однородного уравнения. При переходе в (2.34) к изображениям и равенстве нулю его правой части получим

(2.38)

К орни р_1,2 , как видно из (2.38), являются при настрой­ке главного электропривода на технический оптимум, т,е. комплексно-сопряжёнными, т.к. подкоренное выражение (дискри­минант) (2.38) всегда меньше нуля. В этом случае, введя обозначения

(2.39)

(2.40)

запишем решение (2.34) в следующем виде

(2.41)

Постоянные интегрирования С₁, С₂ находим из (2.41) и его первой производной по времени, исходя из начальных условий, определяемых тем, что система до приложения воздействий находилась в состоянии покоя.

,

(2.42)

На основании (1,67) и (2.41) скорость резания равна

, (2.43)

а угловая скорость шпинделя с учётом основного соотношения режима ССР (1.70) определяется выражением

(2.44)

Появление усилия резания в момент врезания вызывает в системе ССР переходный процесс, при этом линеаризованное уравнение в соответствии с (1.70) и (2.30) принимает вид

(2.45)

Решение этого уравнения у ищем как и ранее в виде суммы (2.35). Проделав математические выкладки и, обозначив корни однородного уравнения, соответствующего (2.45) через , которые можно найти, например, по формуле Кардано [51], получим

, (2.46)

(2.47)

Для определения постоянных С₁, С₂, С₃ найдём значение первой и второй производных выражения (2.41) в момент врезания t_F

, (2.48)

.(2.49)

Время t_f может быть найдено по графику переходной функции R(t), определяемой (2.41) при заданном значении радиуса R_f , на котором происходит врезание или с помощью известных методов решения трансцендентных уравнений вида (2.41).

Момент врезания - t_f является моментом приложения F, т.е. моментом перехода от описания процессов в системе уравнением (2.41) к уравнению (2.46). Следовательно, в соответствии с методом припасовывания [11, 46] начальные условия (2.46), т.е. значения R²(t) и его производных при t=0 равны соответствующим величинам, найденным из (2.41) при t=t_F, т.е. ,

, . Отсюда получаем следующую систему уравнений

(2.50)

Из этих уравнений найдём

, (2.51)

, (2.52)

. (2.53)

На основании (1.67) и (2.46) скорость резания равна

(2.54)

а угловую скорость определяем в соответствии с (2.44), используя (2.54) и (2.46).

При использовании метода замороженных коэффициентов [11] полагаем, что за время переходного процесса радиус обработки существенно не изменяется, т.е. его значение остаётся постоянным и равным начальному R₀. При этом для ПДС (АППР) системы ССР (см. рис. 1.14, рис. 1.13) можно записать в случае F_г=F=0 на основании (1.70), (1.71) следующее выражение

(2.55)

Произведя математические выкладки, аналогичные проделанным выше, получим

(2.56)

где и описываются (2.39), (2.40), a V(t) равна

V(t) = w(t) Ro . (2.57)

При действии возмущения F для рассматриваемых систем справедливо следующее уравнение

(2.58)

В случав метода замороженных коэффициентов начальные условия при действии F определяются тем, что к моменту его приложения в системе должно установиться заданное значение скорости резания V₃, откуда в соответствии с (1.1) начальное значение w равно V₃/R_F =0 и решение (2.58) записывается в cледующем виде

(2.59)

где и описываются (2.39), (2.40), a V(t) равна

V(t)=w(t)R_F. (2.60)

Для АПР системы (см. рис. 1.11) в пусковом режиме, т.е. при F_е = F=0 в соответствии с методом замороженных коэффициентов на основании (1.56) с учётом (1.54) запишем

(2.61)

о ткуда при комплексно-сопряжённых корнях однородного уравнения, соответствующего (2.61), получаем

(2.62)

(2.63)

а определяется (2.39).

Из (2.63) видно, что при малых возможно появление действительных корней

(2.64)

В этом случае w (t) равна

. (2.65)

В обоих случаях V(t) находится в соответствии с (2.57).

При действии возмущения метод замороженных коэффициентов приводит к следующему уравнению для АПР системы ССР

. (2.66)

Когда однородноe уравнение имеет комплексно-сопряжённые корни, описываемые (2.39), (2.63) при R₀=R_F решение (2.66) имеет вид

(2.67)

а при действительных корнях р_1,2 (2.64) записывается так

(2.68)

Скорость резания в обоих случаях определяется согласно (2.60).

Для АП системы ССР (см. рис. 1.10) в соответствии с методом замороженных коэффициентов и (1.30) в пусковом режиме, т.е. при F_z= F= 0 справедливо следующее выражение

(2.69)

(2.70)

а при действии возмущения , (2.71)

где описывается (2.70) при R₀=R_F.

В уравнениях (2,69), (2.71) находится в соответствии с (2.39).

Для решения нелинейных дифференциальных уравнений систем CCP методом Рунге-Кутта на ЦВМ они должны быть записаны в виде, содержащем только первые производные. Так, с учётом обозначений (2.4), т.е. w=y₂, w'=y₃ уравнения для ПДС (АППР) системы ССР принимают вид (2.5), а для АД и АПР систем ССР записываются соответственно в следующей форме

(2.73)

В приложении 2 приведены показатели качества рассматриваемых систем ССР в динамическом режиме: - максимальное перерегулирование в- %; t_M- время соответствующее и tp – время регулирования, в секундах; N_n- число перерегулирований за время t_p.

Коэффициент K_pv в системах определялся на основании соответствующих зависимостей при параметрах систем (1.77), технологических параметрах (1.78) и при , V₃≥ 2м/с. Здесь необходимо отметить, что те значения K_pV, которые определялись для случая, V₃≥ 0,4-0,2 м/с имеют большие значения и настолько ухудшают динамику систем, что их использование становится невозможным. Обеспечение высокого значения Kpv в сочетании с требуемым качеством динамических процессов, возможно только в ПДС (АППР) системе ССР при принятии специальных схемных решений.

Определение динамических показателей работы систем таких как -tp, Nn производилось при , т.е. когда V₃( ) <V₃( ).

В приложении 2 приведены показатели качества динамических режимов работы различных систем ССР, а также погрешность их определения с помощью линеаризованных уравнений и метода замороженных коэффициентов при различной комбинации технологических параметров процесса резания, охватывающих основные

режимы резания токарных станков.

Для более детального исследования процессов в системах в некоторых случаях проводился их анализ в одной системе, обладающей различным значением параметров. Так, в табл. П.2.6 – П.2.19 приведены результаты исследования систем с параметрами, указанными в (1.77), (1.78), а в табл. П.2.1 – П.2.5 при Т= 0,3с. Для первого случая на рис. 2,1 – рис. 2.4 приведены переходные функции по координатам ПДС и АПР систем ССР. На этих и последующих рисунках сплошной линией обозначены переходные функции, полученные при решении нелинейных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта, штрихпунктирной - методом замороженных коэффициентов и пунктирной с помощью линеаризованных уравнений.

Анализ динамических процессов в системах ССР позволил установить ряд особенностей их работы.

Динамика систем в пусковых режимах существенно зависит от технологических параметров обработки. При увеличении V_3, K_R и уменьшении R₀, т.е. в общем случае при увеличении скорости изменения R показатели качества динамических процессов ухудшаются возрастают). Подобные зависимости динамических процессов, например, от значения задающего сигнала наблюдались и в других нелинейных системах управления [137]. Зависимость динамических процессов от знака K_R объясняется тем, что при K_g>0 по достижению V_(t) заданного значения w_(t) должна начать снижаться, а при K_R<0 – увеличиваться. С учётом инерциональности главного привода это приводит в случае K_R> 0 к большим значениям , чем при К_R<0 (см. рис. 2.1 – рис. 2.4).

Коэффициент передачи МЗ_ос, а следовательно, и общий коэффициент передачи АП или АПР системы зависит от R, что обуславливает дополнительное влияние R на динамические процессы в пусковых режимах в этих системах, качественные показатели которых улучшаются при уменьшении R₀ и K_R<0. Действие двух взаимно противоположных зависимостей от R₀ обеспечивает в АП и АПР системах СCP по сравнению с ПДС и АППР системами лучшие показатели качества динамических процессов в пусковом режиме при прочих равных условиях (см. табл. П.2.1 - табл. П.2.3, табл. П.2.6, табл, П.2.8, рис. 2.1 – рис. 2.4), особенно в АПР системе, где, благодаря действию U₀, можно значительно снизить K_pv.

В АППР и ПДС системах ССР общий коэффициент передачи системы при изменении R₀ остаётся постоянным, поэтому в случае K_R=0 т.е. когда поперечная подача отключена и R(t)=R₀=const, переходные процессы в этих системах зависят только от параметров системы управления и, в частности,

Рис. 2.1. Переходные функции ПДС системы ССР в пусковом режиме при T=0,03с,V₃=10 м/с, R₀ =50мм , K_pv = 6 . Кривые I, 2 - по скорости резания; 3, 4 - по радиусу обработки; 1,3-при - K_R=-0,24 мм/рад; 2,4- K_R=0,24мм/рад.

Рис. 2.2. Переходные функции АПР системы ССР в пусковом ре-жиме при Т= 0,03с, V₃=10 м/с; R₀ =50мм ; K_pv = 22. Кривые I, 2 - по скорости резания; 3, 4 - по радиусу обработки; 1,3 при K_R=0,24 мм/рад; 2,4- K_R=0,24мм/рад

Рис. 2.3. Переходные функции ПДС системы ССР в пусковом режиме по угловой скорости шпинделя при Т= 0,03с, V₃=10 м/с; R₀ =50мм , K_pv = 6. Кривые I, 2 –K_R=- 0,24 мм/рад; 4.5- K_R=0,24мм/рад

Рис. 2.4. Переходные функции АПР системы ССР в пусковом режиме по угловой скорости шпинделя при Т= 0,03с, V₃=10 м/с; R₀ =50мм , K_pv = 22. Кривые 1 при K_R=- 0,24 мм/рад; 3- K_R=0,24мм/рад

от К_ру. На этой особенности и основана работа ПДС системы ССР с различным значением параметров в пусковом режиме, структурная схема которой изображена на рис. 2.5. В момент пуска по соответствующему сигналу схемой DT формируется импульс определённой длительности, на время которого ключ SA замыкается и устанавливает в системе коэффициент регулятора скорости резания, равный K_pvQ , а также блокируется поперечная подача, т.е. К_R=0. Значение K_pvа определяется, например, с помощью линеаризованных уравнений таким, чтобы обеспечить переходный процесс по координатам системы с заданными показателями качества. Время этого переходного процесса постоянно и ему равна длительность импульса схемы DT, по окончании которого включается поперечная подача и размыкается ключ SA, устанавливая рабочее значение К_ру = K_pVQ K_pvb , определяемое требуемой с учётом технологических параметров и параметров самой системы управления.

В результате переключения значений K_pv в системе возникает очень незначительный переходный процесс (см. табл. П.2.II, | б_м<0,05%) даже при изменении K_pv почти в 5000 раз. Более существенен переходный процесс при включении поперечной подачи, т.е. переходе К_R от нулевого к заданному значению, причём здесь сохраняются все указанные выше зависимости от технологических параметров. Однако даже при их комбинации, приводящей к наихудшему процессу (см. табл. П.2.12) %, что практически допустимо для всех видов токарных станков. На рис. 2.6 изображены переходные функции рассмотренной системы ССР.

Для адекватного сравнения различных систем ССР в динамическом режиме, обусловленном действием возмущающего воздействия на разных радиусах F_z(F),на разных радиусах R_F значение возмущения выбирается таким, чтобы обеспечить одинаковый момент М=RpF_z. на

Рис. 2.6. Переходные функции ПДС системы ССР в пусковом режиме по скорости резания при T=0,03с , Кривая 1 при K_pv = 0,014; K_R=0 и любых значениях R₀ и V₃ ; кривая 2 при V₃=10 м/с; R₀ =10мм , K_pv = 60. и скачкообразном увеличении K_Rот 0 до 2,4мм/рад

разных R_F. При этом в соответствии с требованиями технологии токарной обработки приложение возмущения F_z(F) производится в момент времени t_F, когда переходный процесс по скорости резания в пусковом режиме установился. Показатели качества и погрешности их определения для этих режимов работы приведены в табл. П.2.16, табл. П.2.17, табл. П.2.19, а переходные функции по скорости резания на рис. 2_.7.

Анализ динамических процессов в ПДС (АППР) и АПР системах ССР, обусловленных действием возмущения, показывает, что

– перерегулирование в этих режимах зависит как от момента М, с увеличением которого возрастает, так и от технологических параметров. При уменьшении R_F перерегулирование и время t_p уменьшаются вследствие увеличения w и возрастания кинетической энергии шпинделя. Аналогичным образом влияет и увеличение V₃, где дополнительно сказывается зависимость снижения V(t) при действии возмущения в установившемся режиме (см. (1.58), (1.73)). Значение и знак К_R также влияют на и t_p-, т.к. К_R определяет изменение R(t) относительно R_(F) и обуславливает изменение тормозящего момента M. Так, при увеличении K_R в область отрицательных значений и t_p - уменьшаются, а при К_R>0 – возрастают. В АПР системе ССР дополнительно проявляется зависимости от K_pv , с увеличением которого снижается.

Вследствие зависимости K_pv от R и K_R, указанной ранее, в данном случае также зависит определённым образом от R и К_R;

I Рис. 2.7. Переходные функции по скорости резания при действии возмущения F= 500Н и V₃=0,4 м/с, R₀=50мм, K_R= 0.24 мм/ рад.

Кривая 1 в ПДС системе ССР при К_pv=6; 2- в АПР системе ССР К_pv=22; 3- в системе с ИПР-2 регулятором при К_pv=5,6.

–динамические процессы, обусловленные действием возмущения, менее колебательны, чем процессы, вызванные действием задающего воздействия

–наименее чувствительна к возмущающему воздействию F_z ПДС система ССР и особенно система с различным значением параметров в пусковом режиме, позволяющая устанавливать высокие значения K_pv. Так при K_pv = 60 перерегулирование 3,4 % даже при V₃≥0,4 и R_max=250мм, т.е. во всём диапазоне рассматриваемых технологических параметров, чего нельзя достичь ни в одной другой системе ССР.

Анализ динамических процессов в рассмотренных системах ССР в пусковом режиме при К_R#0, т.е. в том случае, когда невозможно отключить поперечную подачу на время пуска системы, показывает, что ни одна из этих систем не обладает показателями качества, приемлемыми для токарных станков высокой и особо высокой точности. Проведённый выше анализ работы систем ССР в пусковом режиме показывает, что уменьшить и колебательность процессов можно, уменьшив первоначальный скачок задающего сигнала на привод главного движения, т.е.поставив в системе задатчик интенсивности. В АЛПР системе ССР эту задачу можно решить, установив интегрирующее звено W_pv(p)=K_pv/p либо после ДЗ, как это показано на рис. 2.8, либо непосредственно на входе ДЗ, как показано на рис. 2.9, получив соответственно АППР систему ССР с интегрально-параметрическим регулятором первого (ИПР-1) и второго (ИПР-2) типа. Расположение W_pv(р) по схеме ИПР-2 является по–видимому более предпочтительным, т.к. при этом на W_pv подаётся значительно меньший по величине скачок, чем при расположении W_pv(р) по схеме ИПР-1, поскольку в этом случае сигнал дополнительно делится на R<1. Кроме того, расположение W_pv(р) по схеме ИПР-1 эквивалентно в пусковом режиме последовательному соединению интегрирующего звена и звена второго порядка, что, как известно из линейной теории [100], приводит во многих случаях к ухудшению динамических процессов в замкнутой системе регулирования. Аналогичные явления наблюдаются и в нелинейных системах [85,137].

Для исследования динамических характеристик систем ССР с ИПР-1 и ИПР-2 регуляторами методом Рунге-Кутта запишем их уравнения в форме, содержащей только первые производные. На основании структурных схем систем (см. рис. 2.8, рис. 2.9) и с учётом обозначений (2.4), т.е. R=y₁, w=y₂, w'=y₃ и получим для системы ССР с ИПР-2 регулятором

(2.74)

y'₄=K_pv(V₃-y₁y₂)

Обозначив w"= y₅, запишем для системы ССР с ИПР-1 регулятором следующую систему уравнений

(2.75)

Сравнительный анализ динамических процессов в пусковом режиме в системах ССР с ИПР-1 и ИПР-2 регуляторами (см. табл. П.2.4 и табл. П.2.5), переходные функции по скорости резания, изображённые на рис. 2.10, рис. 2.11, подтверждают, что система с ИПР-2 регулятором обладает лучшими показателями качества в этом режиме и меньшей чувствительностью к значениям технологических параметров, чем система с ИПР-1 регулятором. В последней системе каждая комбинация технологических параметров требует своего значения К_рv, обеспечивающего для неё наилучший переходный процесс (см. табл. П.2.4).

Такие же результаты, хотя с несколько лучшими, но также непригодными для практики показателями качества, дают АП и АПР системы ССР при замене в них пропорционального регулятора K_pv на интегральный W_pv(p)=K_pv/p/

Необходимо также отметить, что система ССР с ИПР-2 регулятором не имеет эквивалента, подобного ПДС системе для АППР системы ССР и требует при технической реализации как множительного, так и делительного устройства, что увеличивает её аппаратную сложность.

Систему ССР с ИПР-2 регулятором так же можно исследовать с помощью линеаризованных уравнений.

Для этого запишем на основании структурной схемы системы ССР (см. рис. 2.9) и выражения (1.31) следующую систему уравнений

(2.76)

На основании первого уравнения (2.76) запишем

2.10, Переходные функции системы ССР с ИПР-1 регулятором в пусковом режиме по скорости резания при Т = 0,3с, V=2 м/с, R₀=50мм Кривая 1 при K_R =1,6мм/рад, Kpv=1,4; 2-K_R=0,4 мм/рад, Kpv=1,6; 3-K_R=0,16 мм/рад, Kpv=2,0; 4-K_R=0,016 мм/рад; 5-Kpv=2,3

Рис. 2.11. Переходные функции системы ССР с ИПР-2 регулятором в пусковом режиме по скорости резания при Т= 0,3 с_; K_pv= 0,87, V₃ = 2 м/с , R_о = 50мм. Кривая 2 при K_R =1,6мм/рад, 3-K_R=0,4 мм/рад, 4-K_R=0,16 мм/рад, 5-K_R=0,016 мм/рад.

,

с учётом второго уравнена (2.76) последнее выражение примет вид

откуда, приняв во внимание (1.40), получим

(2.77)

Проинтегрировав (2.77), найдём

, (2.78)

определив постоянную интегрирования С, исходя из того, что в пусковом режиме система движется из состояния покоя, т.е. при t=0, запишем

(2.79)

В пусковом режиме, т.е. при F=0 на основании третьего уравнения (2.76) и выражений (1.28), (1.29), описывающих W₁(р) ,W₂(p), получим

(2.80)

Определив из (2.79) и подставив его в (2.80), найдём с учётом (1.40), (1.32)

(2.81)

Линеаризацию этого уравнения проводим аналогично описанному в § 2.2 (см. выражение (2.22) и далее), т.е. подставим из (2.23) значения R'"R, R"R, R' R, пренебрегая в них знаками содержащими произведения производных, и сделав замену у =R² получим

(2.82)

Решение у этого уравнения ищем, как и ранее, в виде суммы (2.35) общего и частного решения, проделав математические выкладки и обозначив корни однородного уравнения, соответствующего (2.82) через найдём

(2.83)

(2.84)

(2.84)

Постоянные интегрирования C₁, C₂, C₃ находятся из начальных условий, т.е. значения R²(t) и его производных, определяемых (2.83) при t=0. Для пускового режима имеем R²(0)=R₀²; [R²(0)^’]=[ R²(0)^’’]=0, откуда получаем следующую систему уравнений

(2.86)

Из (2.86) находим

(2.87)

(2.88)

(2.89)

Н а основании (2.89) и (1.67) скорость резания равна

(2.90)

а угловая скорость w(t) определяется на основании (2.44).

Появление усилия резания в момент врезания t_F вызывает в системе ССР с ИПР-2 регулятором переходный процесс, для которого справедлива система уравнений (2.76). При выводе в данном случае уравнения, аналогичного (2.79), постоянная интегрирования С находится, исходя из того, что в момент приложения возмущения имеет значение, определяемое (2.79) при t=t_F , R=R_F, равное

(2.91)

Подставляя из (2.91) в (2.78), найдём

. (2.95)

О бозначив корни характеристического уравнения соответствующего (2.95) через найдём, что решение (2.95) описывается выражением (2.83), но при других значениях коэффициентов и постоянных интегрирования (2.96)

(2.97)

Момент времени t_F является в соответствии с методом при- пасовывания начальным (нулевым) моментом времени для процессов в системе, описываемых (2.83) при действии возмущения F и конечным моментом времени для процессов в системе, описываемых также (2.83), но в пусковом режиме (при F=0 ). Поэтому этот момент времени значения R² и его первой R_v² и второй R_u² производных выражения (2.83), описывающего работу системы в пусковом режиме, являются начальными для процесса, обусловленного появлением усилия резания. Продифференцировав (2.83) дважды по времени и приравняв его к t_F, получим

(2.98)

( 2.99)

Время t_F может быть найдено по графику R(t), определяемому (2.83) при заданном R_F , либо с помощью известных методов решения трансцендентных уравнений вида (2.83).

Поскольку R² , R²_v, R²_u являются начальными условиями (2.83) при действии возмущения, го постоянные интегрирования C₁, C₂, С₃ в этом режиме работы находятся из следующей системы уравнений

С ₁ + С₃ + В =

(2.100)

Откуда находим

, (2.101)

, (2.102)

. (2.103)

Скорость резания V(t) b угловая скорость определяются в данном случае соответственно (2.90) и (2.44), но с учётом других значений коэффициентов и постоянных интегрирования.

В случае исследования системы ССР с ИПР-2 регулятором методом замороженных коэффициентов [11] полагаем как и ранее R=R₀=const, при этом на основании структурной схемы этой системы (см. рис. 2.9) можно записать с учётом (1.31) и W_pv(p)=K_pv/p

(2.104)

С учетом того, что W₁(p), W₂ (p) описываются (1.28), (1.29), а F=const, это выражение можно преобразовать к виду

(2.105)

Из уравнения (2.105) видно, что метод замороженных коэффициентов позволяет исследовать систему ССР с ИПР-2 регулятором только в пусковом режиме, поскольку линеаризуя систему и допустив R=R₀=const, получаем линейную систему, в которой отсутствует влияние возмущающего воздействия [11].

Преобразуем выражение (2.105) к виду

(2.106)

обозначив корни характеристического уравнения, соответствующего (2.106) через запишем решение (2.106) в следующей форме

(2.107)

(2.108)

Постоянные интегрирования С₁, С₂, С₃ найдём, исходя из начальных условий, определяемых тем, что в начальный момент времени t = 0 система находилась в состоянии покоя, т.е. w(0)= w'(0)= w''(0)=0. Полагая в (2.107), в первой и второй его производных t= 0 , получим систему уравнений

(2.109)

откуда найдём

(2.110)

(2.111)

(2.112)

Анализ динамических процессов в пусковых режимах в системе ССР с ИПР-2 регулятором (см. табл. П.2.5, табл. П.2.13), её переходных функций, приведённых на рис. 2.12 - рис. 2.15 позволил установить, что

– одно фиксированное значение K_pv обеспечивает в этой системе достаточно высокие и наилучшие из всех рассмотренных

Рис. 2.12. Переходные функции системы ССР с ИПР-2 регулятором в пусковом режиме при Т = 0,03 с , V₃= 10 м/с, R₀=50мм, K_pv=5,6. Кривые I, 2 до скорости резания; 3, 4 - до радиусу обработки.

Рис.2.13 Переходные функции системы ССР с ИПР-2 регулятором в пусковом режиме по угловой скорости шпинделя при T=0,03 с, V₃=10 м/с, R₀=50 мм, K_pv=5,6. Кривые 1,2 при K_R=-0,24; 4,5 – K_R=0,24 мм/рад.

Рис. 2.14. Переходные функции системы ССР с ИПР-2 регулятором в пусковом режиме по скорости резания при Т = 0,03 с , V₃= 2 м/с, R₀=50мм, K_R=0,16мм/рад. Кривые I, 2, 3 K_pv=3; 4, 5, 6 - K_pv=1; 7 - K_pv=0,5

Рис. 2.15. Переходные функции системы ССР с ИПР-2 регулятором в пусковом режиме по угловой скорости шпинделя при Т = 0,03 с, V₃=2 м/с, R₀=50мм, K_R=0,16мм/рад. Кривые I, 2, 3 K_pv=3; 4, 6, 7 - K_pv=1; 5, 8 - K_pv=0,5

систем ССР показатели качества работы во всём диапазоне изменения технологических параметров при наличии поперечной подачи в пусковом режиме. Значение K_pv, обеспечивающее заданные показатели качества, может быть найдено с помощью любых методов линейной теории управления на основе линеаризованных уравнений, поскольку они точно учитывают изменение процессов в системе в зависимости от K_pv и технологических параметров (см. рис. 2.14, рис, 2.15);

–качественная зависимость динамических процессов в пусковом режиме от технологических параметров в системе ССР с ИПР-2 регулятором такая же, как в ПДС и АППР системах ССР, но имеет гораздо меньшее значение;

–в системе ССР о ИПР-2 регулятором и t_p , обусловленные действием возмущения, имеют такую же зависимость от технологических параметров, как и в статических системах ССР, но значения и t_p в этой системе при прочих равных условиях больше. Это объясняется уменьшением быстродействия системы за счёт наличия в ней интегрирующего звена.

Система ССР с ИПР-2 регулятором обеспечивает стабилизацию скорости резания в установившемся режиме по сравнению с другими системами ССР с наименьшей (см. рис. 2.7), особенно при малых значениях K_R.

Отмеченные особенности работы системы ССР с ИПР-2 регулятором позволяют рекомендовать её для использования совместно со станками высокой и особо высокой точности, характеризуемых небольшими усилиями резания и высокими требованиями к динамическим процессам. Так, при технологических параметрах R_F∙Fz=М, обеспечивающих момент М не превышающий 10% от номинального, перерегулирование % даже для случая V₃=0,4 м/с.

Сравнительный анализ методов исследования: систем ССР, считая, что решение нелинейных дифференциальных уравнений систем методом Рунге-Кутта на ЦВМ даёт точные результаты, доказывает:

– что исследование систем ССР с помощью линеаризованных уравнений по сравнению с методом замороженных коэффициентов обладает не только большей точностью, но и информативностью, т.к. позволяет получить переходный процесс по всем координатам системы с учётом влияния технологических параметров процесса резания. Последнее свойство линеаризованных уравнений является весьма важным, поскольку даёт возможность производить не только анализ, но и синтез систем ССР;

– метод замороженных коэффициентов в ряде случаев вообще непригоден. Так, с его помощью нельзя исследовать процессы в системе ССР с ИПР-2 регулятором, возникающие в результате действия возмущения. Хотя в этом случае наблюдаются динамические процессы с большими перерегулированиями (см. табл. 2.18), оказывающими существенное влияние на работу системы. При анализе изменения координат систем ССР во времени в установившемся режиме этот метод также непригоден, поскольку он не учитывает изменение радиуса обработки. Линеаризованные же уравнения позволяют исследовать системы ССР в этих случаях с высокой степенью достоверности.