3.1 Влияние шага дискретизации радиуса на характер процессов в системах.

Дискретное измерение радиуса обработки R в системах ССР может производиться с постоянным шагом дискретизации r₀ и переменным –r_i, как это показано на рис. 3.1. При этом структурные схемы АПР, АППР и ПДС систем ССР (см. рис. 1.11, рис 1.13, рис. 1.14) принимают вид, показанный на рис. 3.2 – рис. 3.4, где с помощью квантователя КВ учитывается дискретное измерение R. Дискретные АППР и ПДС системы ССР, как и непрерывные, являются эквивалентными друг другу и все выводы, полученные для одной системы, полностью справедливы для другой.

Дискретизация R производится, начиная со значения радиуса R_д, которому соответствует нулевой уровень дискретизации N, т.е. N=0 (см. риc. 3.1). Значение R_д определяется условиями технологии и как будет видно из дальнейшего требуемой точностью стабилизации V, максимальным количеством уровней дискретизации, обуславливающих аппаратурную сложность системы, и значением R_r (1.12), который в общем случае меньше R_д. При этом на выходе KB формируется дискретное значение радиуса обработки R_N , в случае фиксированного шага r₀, равное

R_M= R_д +r₀ N, (3.1)

а при переменном значении шага r_i

R_N= R_д при N=0

при N= 1, 2, 3… (3.2)

О бозначив шаг дискретизации независимо от того фиксированный он или переменный через r, найдем время между смежными моментами дискретизации R, т.е. период дискретизации T_g. С учетом того, что скорость поперечной подачи S_R описывается (1.9), получим

(3.3)

Подставив в (3.3) из (1.57), (1.72) значение для АПР и ПДС (АППР) систем ССР в установившемся режиме, запишем соответственно для этих систем

Рис. 3.1. Дискретное измерение радиуса обработки.

, (3.4)

(3.5)

Дискретные системы автоматического управления, в соответствии с теоремой Котельникова могут рассматриваться как непрерывные и дискретные в зависимости от периода квантования входного воздействия с граничной частотой w_с. Граничная частота w_с определяется шириной спектра воздействий на систему, но, главным образом, полосой фильтров, используемых в замкнутой системе автоматического регулирования. У большинства дискретных систем можно выделить непрерывную часть разомкнутой системы, поэтому в качестве граничной частоты w_с, с помощью которой определяется дискретный характер системы, может быть выбрана частота среза передаточной функции непрерывной части разомкнутой системы [118].

Теорема Котельникова накладывает ограничение на длительность периода дискретизации в данном случае T_g . Анализ с этой точки зрения выражений (3.4), (3.5) показывает, что Т_g увеличивается при увеличении R. Таким образом, определение систем ССР как непрерывных или дискретных по теореме Котельникова должно производиться на максимальных радиусах обработки. При этом, как показывают исследования не прерывных систем ССР, их можно линеаризовать по методу замороженных коэффициентов, положив положив R(t)=R₀=const. В этом случае структурные схемы АПР и АППР систем ССР можно представить так, как это показано на рис. 3.5, рис. 3.6, где дискретное изменение R_N заменяется эквивалентным дискретным изменением V₃, которое выполняется с помощью импульсного элемента, состоящего из ключа К_u и фиксирующего элемента (фиксатора нулевого порядка) с передаточной функцией W_фэ(р) [129] равной

Рис. 3.5. Структурная схема линеаризованной АПР системы ССР с дискретным измерением радиуса обработки.

Рис. 3.6. Структурная схема линеаризованной АППР системы ССР с дискретным измерением радиуса обработки.

, (3.6)

Поскольку в линеаризованных системах ССР (см. рис. 3.5, рис. 3.6) импульсный элемент не охвачен обратной связью, то передаточные функции непрерывной части АПР и АППР систем ССР : относительно w запишутся соответственно в следующем виде

, (3.7)

. (3.8)

Н айдём амплитудно-частотную характеристику A(w) непрерывной части АПР системы ССР, для чего подставим в выражение (3.7) значения W₁(p) , W₂(p) из (1.28), (1.29), W_фэ(р) из (3.6) U₀ из (1.54) и, произведя замену р = jw_r, получим

или

. (3.9)

С учётом того, что A(w_r) =|W_нч(jw_r)|, на основании (3.9) запишем

или

.

Откуда найдём

. (3.10)

Произведя аналогичные математические выкладки для передаточной функции непрерывной части АППР системы ССР (3.8), определим её амплитудно-частотную характеристику

(3.11)

Из выражений (3.10), (3.11) при подстановке в них Т_g, описывающегося соответственно (3.4), (3.5), находится с помощью графо-аналитических или численных методов решения трансцендентных уравнений w_с, исходя из условия A(w_c)=1. Проверка условия, накладываемого теоремой Котельникова, т.е.

(3.12)

позволяет определить, непрерывна (при выполнении (3.12)) и дискретна рассматриваемая система ССР.

Исследования АПР и АППР (ПДС) систем ССР показывают, что при действии усилия резания, приводящего к появлению не минального момента на валу электродвигателя главного движения, дискретность систем проявляется при r > 10-15 Мкм , K_g <0,03мм/рад, R₀>200мм. Таким образом, системы ССР для токарных станков о ЧПУ в большинстве случаев можно считать непрерывными, т.к. в них как правило r≤ 5Мкм .